1、数学试题卷第页（共4页）2023届芜湖市高中毕业班教学质量统测数学试题卷本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。4.考生必须
2、保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.设全集U=R，若集合A=x|2x-3 a cB.c a bC.b c aD.a c b1数学试题卷第页（共4页）7.函数f(x)=ln|x-x2+2sinx在区间(-,0)(0,)的图象大致为ABCD8.如图，底面同心的圆锥高为 165，A,B在半径为3的底面圆上，C,D在半径为 4 的底面圆上，且 AB CD，当四边形 ABCD 面积最大时，点O到平面PBC的距离为A.4825B.3625C.2D.3二、选择题：本题共 4 小题，每小题
3、5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9.一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和4个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是A.取出1个球，取到红球的概率为 37B.取出2个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为 12C.取出2个球，第二次取到红球的概率为 13D.取出3个球，取到红球个数的均值为 9710.已知(x2+x+1)9=a0+a1x+a2x2+a18x18,下列说法正确的有A.a0=1B.a2=42C.a2+a4+a18=39+12D.a1+2a2+3a3+18a18=311
4、11.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0)作曲线y=f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点(x1,f(x1)作曲线y=f(x)的 切 线 l2，设 l2 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 x2，称 x2 为 r 的 2 次 近 似 值 一 般 地，过 点(xn,f(xn)(n N*)作曲线y=f(x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值对于方程x3-x+1=0，记方程的根为r，
5、取初始近似值为x0=-1，下第8题图2数学试题卷第页（共4页）列说法正确的是A.r (-2,-1)B.切线l2：23x-4y+31=0C.|x3-x2|18D.xn+1=2x3n-13x2n-112.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知 O 为坐标原点，F1,F2 分别是双曲线 C:x29-y216=1 的左右焦点，过 F2 的直线交双曲线 C 的右支于 M,N 两点，且 M()x1,y1 在第一象限，MF1F2，NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，MF1N的内心为I.双曲线C在M处的切线方程
6、为 x1x9-y1y16=1，则下列说法正确的有A.点I1、I2均在直线x=3上B.直线MI的方程为 x1x9-y1y16=1C.r1r2=165D.SF2I1I2SII1I2=53三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知tan 2=13，则sin=.14.在某次高三体检中，12 位同学的身高（单位：cm）分别为 173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，则这组数据的上四分位数为.15.已知椭圆E的中心为O，E上存在两点A，B，满足OAB是以半焦距为边长的正三角形，则E的离心率为.16.拓扑学中，所谓“树”是指这样一种图形
7、：在平面中，任意两点都可以连线，从而可以形成连通.若两点之间的连通没有回路，且任意两点之间没有不同的通路，则称两点具有唯一的连通.如图：两个点、三个点唯一的连通均有一种，四个点唯一的连通有 2种，五个点唯一的连通有3种，平面里六个点唯一的连通有种.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，四棱锥 P-ABCD,其中 ABCD 为正方形，PA 底面ABCD,PA=AB=6，E,F 分别为 PD,PC 的中点，M,N 在棱 PA,PB 上，且满足 PM=2 MA,PN=2 NB.（1）求证：直线ME与直线NF相交；（2）求平面MNF与平面AB
8、CD夹角的余弦值.两个点三个点四个点五个点第16题图MABCDEPFN第17题图3数学试题卷第页（共4页）18.（12分）已知函数f(x)=asin2x+cos2x，且f(x)|f(-6).（1）求f(x)的最大值；（2）从中任选一个作答.若选择多个分别作答，按第一个解答计分.A 为函数 f(x)图象与 x 轴的交点，点 B,C 为函数 f(x)图象的最高点或者最低点，求ABC 面积的最小值.O为坐标原点，复数z1=-2-4i，z2=-2+f(t)i在复平面内对应的点分别为A,B，求OAB面积的取值范围.19.（12分）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择
9、一个，放入一个金蛋,再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一位抽奖人.（1）求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差;（2）为了增加节目效果，改变游戏规则.当某一抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍;否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何决择呢？20.（12分
10、）已知等差数列an，等比数列bn，且a1=1,abn=2n+1-1.（1）求数列an，bn 的通项公式；（2）将数列an 和bn 中的项合并，按从小到大的顺序重新排列构成新数列cn，求cn 的前100项和.21.（12分）已知函数f(x)=3xlnx-ax3+6x(a 0).（1）若f(x)的零点有且只有一个，求a的值；（2）若f(x)存在最大值，求a的取值范围.22.（12分）已知动圆过定点M(1,0)，且与直线x=-1相切.（1）求动圆圆心轨迹C的方程；（2）设过点M的直线l交轨迹C于A,B两点，已知点N(2,0)，直线AN,BN分别交轨迹C于另一个点P,Q.若直线AB和PQ的斜率分别为k
11、1,k2.（i）证明：k1=2k2;（ii）设直线QA，PB的交点为T，求线段MT长度的最小值.4数学试题参考答案第页（共5页）2023届芜湖市高中毕业班教学质量统测数学试题参考答案选择题一、选择题：1C2C3B4D5D6B7B8A二、选择题：9ABD10AD11ABD12ABD非选择题三、填空题：13.3514.173.515.3-1或6316.6四、解答题：17.证明：（1）E,F分别为PD,PC的中点 EF/CD且EF=12 CD PM=2 MA,PN=2 NB MN/AB且MN=23 AB AB/CD且AB=CD EF/MN且EF MN 四边形EMNF为梯形 直线ME与直线NF相交 （
12、4分）（2）PA 平面ABCD且ABCD为正方形以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则M(0,0,2),N(4,0,2),F(3,3,3)MN=(4,0,0),MF=(3,3,1)设平面NME的法向量为m=(x0,y0,z0)，则m MN=0m MF=0 4x0=03x0+3y0+z0=0令y0=1，得m=(0,1,-3)1数学试题参考答案第页（共5页）记平面ABCD的法向量为n，则n=(0,0,1)（8分）cos=m n|m|n=-31010平面NMF与平面ABCD夹角的余弦值为 31010.（10分）（几何法求解几何法求解，酌情给分酌情给分）18
13、.（1）f(x)|f(-6)f(-6)2=a2+1得(a+3)2=0 a=-3 （5分）（2）f(x)=-3 sin2x+cos2x=-2sin(2x-6)选（1）当 f(x)同为最大值或最小值时，得SABC=12 AkT 12 AT=12 2 =（9分）（2）当 f(x)一个为最大值，另一个为最小值时，得SABC=122Ak T2 12 AT=12 2 =综上：ABC面积的最小值为 （12分）选由复数的几何意义知：A(-2,-4)，B(-2,f(t)SOAB=12 2|AB|=|AB|=|f(t)+4|=-2sin(2x-6)+4 （9分）SOAB 2,6 （12分）19.（1）由题意可得，
14、中奖人数X服从二项分布：XB(3,13)P(x=i)=Ci3(13)i(23)3-i（i=0,1,2,3）P(x=0)=827,P(x=1)=1227,P(x=2)=627,P(x=3)=127分布列为XP08271122726273127中奖人数X的方差为D(x)=3 13 23=23 （4分）（2）若改变选择，由题意可知获得奖金数记为Y,则Y的可能值为0，4002数学试题参考答案第页（共5页）则P(Y=0)=13，P(Y=400)=23分布列为YP01340023 E(Y)=0 13+400 23=8003（元）（8分）若不改变选择，由题意可知获得奖金数记为Z,则Z的可能值为50，200则
15、P(Z=50)=23，P(Z=200)=13分布列为ZP502320013 E(Z)=50 23+200 13=100（元）E(Y)E(Z)建议抽奖人改变选择.（12分）20.（1）设等差数列an 的公差为d，等比数列bn 的公比为q abn=a1+(bn-1)d=2n+1-1，bnd+1-d=2n+1-1 1-d=-1,bnd=2n+1 d=2,bn=2n，an=2n-1 （6分）（2）由题意可知cn 的前100项中，有数列an 的前93项，数列bn 的前7项 （8分）记an，bn，cn 的前n项和分别An,Bn,Cn.C100=A93+B7=93+93 922 2+2-281-2=8649
16、+254=8903（12分）21.解（1）f(x)=3(1+lnx)-3ax2+6=3(3+lnx-ax2)令f(x)=0，即3+lnx-ax2=0，得a=3+lnxx2，令g(x)=3+lnxx2由g(x)=-2lnx-5x3，则0 x 0，x e-52 时，g(x)0所以g(x)在区间(0,e-52)单调递增，在区间(e-52,+)单调递减又x 0+时，g(x)-；x +时，g(x)0+，g(e-52)=12 e53数学试题参考答案第页（共5页）所以当a=12 e5时，f(x)有且只有一个零点.（5分）（2）f(x)=3x2(3+lnxx2-a)，由（1）知，当a 12 e5时，f(x)0
17、所以f(x)在区间(0,+)单调递减，f(x)无最大值；当0 a 12 e5时，f(x)有两个零点x1 x2，易知0 x1 e-52 x2当0 x x2时，f(x)0，故f(x)单调递减当x1 x 0，故f(x)单调递增又x 0时，f(x)0，0 x x1 e-52 e-2时，f(x)0 （8分）所以f(x)有最大值f(x2)0lnx2+3x22-a=0lnx2-13 ax22+2 0消去a，得 23 lnx2+1 0 x2 e-32结合a=g(x2)以及g(x)在区间(e-52,+)单调递减，得0 a 32 e3（12分）22.解：（1）由题意，圆心C满足抛物线定义，且焦点为M(1,0)，准
18、线为x=-1，所以 p2=1，所以C:y2=4x.（4分）（2）（i）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)因为AB过点M(1,0)所以设lAB:x=my+1，联立y2=4x得：y2-4my-4=0所以y1y2=-4()又N(2,0)，可设lAN:x=x1-2y1y+2，联立y2=4x得：y2-4(x1-2)y1y-8=0所以y1y3=-8，同理：y2y4=-8()又k1=kAB=y1-y2x1-x2=y1-y2y 214-y 224=4y1+y2同理k2=kPQ=4y3+y4，再结合()式及()式所以k2=kPQ=4-4py1+-4py2=2y1+y24数学试题参考答案第页（共5页）所以k1=2k2.（8分）（ii）由（i）过程同理知kAQ=4y1+y4可设lAQ:y-y1=4y1+y4(x-x1)，又y2y4=-8所以lAQ:y-y1=4y1-8y2(x-y 214)，又y1y2=-4即：lAQ:y=-y23 x+2y13同理：lBP:y=-y13 x+2y23联立以上两直线方程，消去y得：x=-2所以直线QA和PB的交点T在定直线x=-2上.从而当点M到直线x=-2的距离即为MT长度的最小值，所以|MTmin=3.（12分）5
