1、12.3几何概型1.几何概型事件A发生的概率与d的测度成正比，与d的形状和位置无关，这样的概率模型称为几何概型.2.几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A).3.几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()2.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒
2、，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是_.答案（解析以时间的长短进行度量，故P.3.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为_.答案解析如图可设l1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.4.在区间1,2上随机取一个数x，则x0，1的概率为_.答案解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P.5.已知直线yxb，b2,3，则直线在y轴上的截距大于1的概率是_.答案解析区域D为区间2,3，d为区间(1,3，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P.题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)
3、在区间1,1上随机取一个数x，求cos x的值介于0到之间的概率.(2)如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率.思维启迪寻找所考查对象活动的范围.解(1)由函数ycos x的图象知，当1x或x1时，0cos x.由概率的几何概型知：cos x的值介于0到之间的概率为.(2)因为B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生.由几何概型的概率公式，得P(N).思维升华解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对
4、象的活动范围.当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算.事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.(1)若在例1(2)中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为_.(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_.答案(1)(2)解析(1)由B60，C45，AD得，BD1，DCAD，则BM1的概率为P.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD
5、的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A).题型二与面积、体积有关的几何概型例2(1)(2012北京改编)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_.(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_.思维启迪平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率.答案(1)1(2)解析(1)根据题意作出
6、满足条件的几何图形求解.如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是1.(2)先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.思维升华求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.(1)在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)x22axb
7、22有零点的概率为_.(2)(2013常州模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_.答案(1)1(2)1解析(1)由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，故P(A)1.(2)V正238，V半球13，P1.题型三生活中
8、的几何概型问题例3甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.思维启迪当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.解这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x
9、，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A).思维升华生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息.(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.(3)解模：求解建立的数学模型.(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.张先生订了一份报纸，送报人在早上6：307：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：008：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是_.答案解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为
10、随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P(A).混淆长度型与面积型几何概型致误典例：(14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率.易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率.规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个.因为是长度，所以应有0x1,0y1,0xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图 所示. 6分要形成三角形，由构成三角形的条件知所以x，y，故图中阴影部分符合
11、构成三角形的条件.12分因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形的概率为.14分温馨提醒解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.方法与技巧1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个.2.转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式.(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件
12、需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.失误与防范1.准确把握几何概型的“测度”是解题的关键；2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约812毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m的概率为_.答案解析与
13、两端都大于0.2 m即空竹的运行范围为(10.20.2)m0.6 m，记“空竹与两端距离都大于0.2 m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P(A).2.(2012辽宁改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为_.答案解析根据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率.设ACx，则BC12x，所以x(12x)20，解得x2或x10.故P.3.如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过R的概率是_.答案解析由题意知，当MNR时，MON，所以所求概率为.
14、4.已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为_.答案解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形.所以ABD为钝角三角形的概率为.5.(2012湖北改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_.答案1解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以
15、OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.6.在长为10 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于36 cm2到64 cm2的概率是_.答案解析如图，以AG为半径作圆，圆面积介于3664 cm2，则AG的长度应介于68 cm之间.所求概率P(A).7.(2013湖北)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去.当2mn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在
16、阴影 部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_.答案解析去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P.二、解答题10.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率.解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为. (2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0，n0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为P.
