1、一、填空题1.(2015哈师大附中检测)设函数f(x)axln x(aR，a0)，若f(e)2，则f(e)的值为_.解析f(x)aln xa，故f(e)2a2，得a1，故f(x)xln x，f(e)e.答案e2.(2015扬州模拟)曲线yx2ln x在点(1，1)处的切线方程为_.解析y2x，故y|x13，故在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，化简整理得3xy20.答案3xy203.若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析由f(x)0，x22xa0，x1，又f(x)在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.答案34.三次函数f(x)mx3x在(，)上是减函数，则m的取值范围是_.
2、解析f(x)3mx210在(，)上恒成立，x0时，10恒成立，即mR；x0时，有m在R上恒成立，0，m0，又m0时，f(x)x不是三次函数，不满足题意.综上m0.答案(，0)5.(2015南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)若函数f(x)x3ax2bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y3x4，则b的值为_.解析由函数f(x)x3ax2bx为奇函数可得a0.设切点坐标为(x0，y0)，则y0xbx03x04，又f(x)3x2b，所以f(x0)3xb3，联立解得x0，b3.答案36.(2014无锡模拟)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析y3x23，当y0时，x1.则y，y的变
3、化情况如下表；x(，1)1(1，1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.答案2或27.设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0，1上的最小值为_.解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x或(舍去).当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.答案8.(2015石家庄模拟)若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是_.解析2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，
4、h(x)0，函数h(x)单调递减；x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4.答案(，49.从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数yln x1上任一点(x0，1ln x
5、0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数.所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).答案(，1)(0，1)12.已知函数f(x)的定义域是1，5，
6、部分对应值如下表.f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示.x1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：函数yf(x)在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值是4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点.其中真命题的个数是_.解析yf(x)在0，2上为负，故函数yf(x)在0，2上是减函数，正确；当x1，t时，f(x)的最大值是2，t的最大值是5，错误；当1a2时，函数yf(x)a可能有2个，3个或4个零点，故错误.答案113.(2015南京调研)已知函数f(x)x1(e1)ln x，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)0的x的取值范围为_.解析令
7、g(x)f(ex)ex1(e1)x，则g(x)ex(e1)，当xln(e1)时，g(x)0，x(，ln(e1)时，g(x)0，g(x)单调递增，又g(x)有0和1两个零点，所以f(ex)0的x的取值范围为(0，1).答案(0，1)14.(2015全国卷改编)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是_.解析设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线yaxa的下方，因为g(x)ex(2x1)，所以当x时，g(x)时，g(x)0，所以当x时，g(x)min2e，当x0时，g(0)1，g(1)e0，直线
8、ya(x1)恒过(1，0)且斜率为a，故ag(0)1，且g(1)3e1aa，解得a1.答案二、解答题15.已知函数f(x)x2aln x(aR).(1)若函数f(x)的图象在x2处的切线方程为yxb，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，)上为增函数，求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)x(x0)，又f(x)在x2处的切线方程为yxb，所以解得a2，b2ln 2.(2)若函数f(x)在(1，)上为增函数，则f(x)x0在(1，)上恒成立，即ax2在(1，)上恒成立.所以有a1.故实数a的取值范围是(，1.16.已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16.(1)求a，b的值；(
9、2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3，3上的最小值.解(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2).令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2，2)时，f(x)0，故f(x)在(2，2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数.由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)
10、9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3，3上的最小值为f(2)4.17.(2015南京、盐城模拟)几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(xN*)之间满足如下关系：当34x60时，t(x)a(x5)210 050；当60x70时，t(x)100x7 600.设该店月利润为M(元)，月利润月销售总额月总成本.(1)求M关于销售价格x的函数
11、关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.解(1)当x60时，t(60)1 600，代入t(x)a(x5)210 050，解得a2.M(x)即M(x)(2)设g(u)(2u220u10 000)(u34)20 000，34u60，uR，则g(u)6(u216u1 780).令g(u)0，解得u182(舍去)，u282(50，51).当34u50时，g(u)0，g(u)单调递增；当51u60时，g(u)0，g(u)单调递减.xN*，M(50)44 000，M(51)44 226，M(x)的最大值为44 226.当60x70时，M(x)100(x2110x2 584)20 00
12、0单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)21 600.综上所述，当x51时，月利润M(x)有最大值44 226元.该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件.18.(2015安徽卷)设函数f(x)x2axb.(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满足D1时的最大值.解(1)f(sin x)sin2 xasin xbsin x(sin xa)b，x.f(sin x)(2sin xa)cos x，x.
13、因为x0，22sin x2.a2，bR时，函数f(sin x)单调递增，无极值.a2，bR时，函数f(sin x)单调递减，无极值.对于2a2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0a.xx0时，函数f(sin x)单调递减；x0x时，函数f(sin x)单调递增；因此，2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb.(2)x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立.当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立.由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值为D|a
14、a0|bb0|.(3)D1即为|a|b|1，此时0a21，1b1，从而zb1.取a0，b1，则|a|b|1，并且zb1.由此可知，zb满足条件D1的最大值为1.19.(2015四川卷)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a，其中a0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.(1)解由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2ln x2，所以g(x)2，当0a时，g(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g(x)在区间(0
15、，)上单调递增.(2)证明由f(x)2(xa)2ln x20，解得a，令(x)2ln xx22x2，则(1)10，(e)20，故存在x0(1，e)，使得(x0)0，令a0，u(x)x1ln x(x1)，由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，所以0a01，即a0(0，1)，当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0，由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增.故当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0，所以，当x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立
16、，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.20.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)mxaln xm，g(x)，其中m，a均为实数.(1)求g(x)的极值；(2)设m1，a0，若对任意的x1，x23，4(x1x2)，|f(x2)f(x1)|恒成立，求a的最小值；(3)设a2，若对任意给定的x0(0，e，在区间(0，e上总存在t1，t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0)成立，求m的取值范围.解(1)g(x)，令g(x)0，得x1.列表如下：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)极大值g(1)1，yg(x)的极大值为1，无极小值.(2)当m1，a0时，f(x)xaln x
17、1，x(0，).f(x)0在3，4上恒成立，f(x)在3，4上为增函数.设h(x)，h(x)0在3，4上恒成立，h(x)在3，4上为增函数.设x2x1，则|f(x2)f(x1)|等价于f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)，即f(x2)h(x2)f(x1)h(x1).设u(x)f(x)h(x)xaln x1，则u(x)在3，4上为减函数.u(x)10在3，4上恒成立.axex1恒成立.设v(x)xex1，v(x)1ex1 1ex1，x3，4，ex1e21，v(x)0，v(x)为减函数，v(x)在3，4上的最大值为v(3)3e2.a3e2，a的最小值为3e2.(3)由(1)知g(x)在(0，e上的值域为(0，1.f(x)mx2ln xm，x(0，)，当m0时，f(x)2ln x在(0，e上为减函数，不合题意.当m0时，f(x)，由题意知f(x)在(0，e上不单调，所以0e，即m.此时f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(e)1，即f(e)me2m1，解得m.由，得m.1(0，e，ff(1)0成立.下证存在t，使得f(t)1.取tem，先证em，即证2emm0.设(x)2exx，则(x)2ex10在时恒成立.(x)在上为增函数，(x)0，成立.再证f(em)1.f(em)memmm1，m时，命题成立.综上所述，m的取值范围为.
