1、正切函数的性质与图象(15分钟30分)1.函数f(x)=-2tan的定义域是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意得2x+k,kZ,解得x+,kZ,则函数f(x)=-2tan的定义域为.【补偿训练】 1.函数y=的定义域为()A.x|x0B.x|xk,kZC.D.【解析】选D.函数y=有意义时,需使所以函数的定义域为=.2.函数y=tan x+()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选A.定义域是x|xk,kZ=.又f(-x)=tan(-x)+=-=-f(x),即函数y=tan x+是奇函数.2.已知函数f(x)=tan x,则下列结论不正确的
2、是()A.2是f(x)的一个周期B.f=fC.f(x)的值域为RD.f(x)的图象关于点对称【解析】选B.A.f(x)=tan x的最小正周期为,所以2是f(x)的一个周期,所以该选项正确;B.f=1,f=-1,所以该选项是错误的;C.f(x)=tan x的值域为R,所以该选项是正确的;D.f(x)=tan x的图象关于点对称,所以该选项是正确的.3.函数y=tan的单调递增区间是_.【解析】根据正切函数的图象与性质,令-+kx-+k,kZ;得-+kx+k,kZ,所以函数y=tan的单调递增区间是,kZ.答案:,kZ4.已知函数f(x)=tan(x+),|的图象的一个对称中心为,则的值为_.【
3、解析】因为函数的图象的一个对称中心为,所以+=,kZ,则=-+,kZ.又|,取k=0,得=-;取k=1,得=,所以的值为-或.答案:-或5.若有函数f(x)=tan,(1)求函数的定义域;(2)写出函数的单调区间;(3)比较f(-1),f(0),f(1)的大小.【解析】(1)由x+k+,kZ,得函数的定义域为.(2)由k-x+0,因为-1+0,0,所以f(-1)=tan=-tan0,因为1+,0,所以f(1)=tan=-tan=-tan0,y=tan x在上是递增的,所以tantan,所以-tan-tan,即f(1)f(-1)f(1).【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解,单调区间的求解,以
4、及利用单调性比较函数值大小;本题的难点是比大小时,充分利用函数的单调性. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.函数y=+的定义域为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意可得即得得解得-2x-或-x,因此函数y=+的定义域为,.2.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则()A.abcB.cbaC.bcaD.ba1,b=tan 2=-tan(-2)0,c=tan 3=-tan(-3)-2-30,所以tan(-2)tan(-3)0,所以-tan(-2)-tan(-3)0cb.3.已知函数f(x)=tan(x+)的图象关于点成中心对称,且与直线y=a相交两点的最短
5、距离为,则方程f=1,x,所有实数根的和为()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)与直线y=a相交两点的最短距离为,所以周期为=,=2,函数f(x)=tan(x+)0,|的图象关于点成中心对称,2+=(kZ),所以=-(kZ),因为|,所以=-,所以f(x)=tan,x,2x-,f(x)=1,2x-=或2x-=,所以x=或x=,方程f=1,x,所有实数根的和为.4.已知函数f(x)=tan,下列结论错误的是()A.x1,x2是f(x)=3的两个不相等的根,则|x1-x2|B.是函数f(x)的对称中心C.(kZ)是函数的对称中心D.x=k-(kZ)是函数f(x)的对称轴【解析】选D.由于f的最
6、小正周期为T=,所以,故A正确.由2x+=,解得x=k-,所以f的对称中心为(kZ),其中一个对称中心是,所以B,C正确.由于f没有对称轴,所以D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列关于函数y=tan的说法正确的是()A.在区间上单调递增B.最小正周期是C.图象关于成中心对称D.图象关于直线x=成轴对称【解析】选AB.令k-x+k+,解得k-x0D.f【解析】选AC.f(x)=tan x的周期为,故A正确;函数f(x)=tan x为奇函数,故B不正确;C项表明函数是递增的,而f(x)=tan x在区间上递增,故C正确;由函数f(
7、x)=tan x的图象可知,函数在区间上有f,在区间上有f0,0)的相邻两个对称中心距离为,且f()=-,将其上所有的点再向右平移个单位,纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为_.【解析】由题意得,函数f(x)=tan(x+)的相邻两个对称中心距离为=,解得=,且f()=-,即tan=-,因为0,解得=,所以f(x)=tan,将f(x)图象上的点向右平移个单位,可得f(x)=tan=tan,再把所得图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,可得g(x)=tan的图象,即函数g的解析式为g(x)=tan.答案:g(x)=tan8.已知函数f(x)=tan(x+)的最小正
8、周期为,且f(x)的图象过点,则方程f(x)=sin(x0,)所有解的和为_.【解析】由题意=2,又tan(2+)=0,且0|0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 020相交于A,B两点,且=2,则f=()A.B.-C.-3 D.-3【解析】选A.因为=2,故f的周期为2,所以=2,即=.所以f(x)=tan,故f=tan=tan=.2.已知f(x)=,(1)判断f(x)的奇偶性.(2)当x-,且x时,画出f(x)的简图,并指出函数的单调区间.【解析】(1)由函数f(x)=的解析式可得函数的定义域为关于原点对称,又因为f(x)=,所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=为奇函数.(2)由(1)可得f(x)=其图象如图所示由图象可知增区间:,减区间:,.