1、陕西省西安中学高 2022 届高三第一次仿真模拟考试理科数学试题(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题 所有实数的平方都是正数 的否定为()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方不是正数D.至少有一个实数的平方是正数2.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N (IM)=,则 M N=()A.MB.NC.ID.3.某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编
2、号 001、002、699、700.从中抽取 70 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 5 个样本编号是()3321183429 7864560732 5242064438 122343567735789056428442125331 3457860736 2530073285 234578890723689608043256780843 6789535577 3489948375 22535578324577892345A.607B.328C.253D.0074.如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 1cm 的正方
3、形，则原图形的周长是()A.8cmB.6cmC.2(1+3)cmD.2(1+2)cm5.九章算术中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐 齐去长安三千里 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图 若输出的 S 的值为 350，则判断框中可填()A.i 6?B.i 7?C.i 8?D.i 9?高三年级 数学试题 第 1 页 共 4 页6.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1:x2+y2+2x 6y+6=0 与圆 C2:x2+y2 4x+2y+4=0,则两圆的公切线的条数是()A.4 条B.3 条C.
4、2 条D.1 条7.下面是关于公差 d 0 的等差数列 an 的四个命题:p1:数列 an是递增数列；p2:数列 nan是递增数列；p3:数列ann是递增数列；p4:数列 an+3nd是递增数列；其中的真命题为()A.p1,p2B.p1,p4C.p2,p3D.p3,p48.设 a Z，且 0 a 13，若 512022+a 能被 13 整除，则 a=()A.0B.1C.11D.129.设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0，则 z1=z2B.若 z1=z2，则 z1=z2C.若|z1|=|z2|，则 z1z1=z2z2D.若|z1|=|z2|，则 z21=z2
5、210.已知函数 f(x)=sin(2x-3),若方程 f(x)=13 在（0,）内的解为 x1,x2(x1 x2),则 sin(x1-x2)=()A.-2 23B.-32C.-12D.-1311.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每人随机写下两个都小于 1 的正实数 x，y 组成的实数对(x,y)；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数 n；最后再根据统计数 n 估计 的值，那么可以估计 的值约为()A.4nmB.n+2mC.4n+2mmD.n+2mm12
6、.已知双曲线 C 过点(3,2)且渐近线为 y=33 x，则下列结论错误的是()A.曲线 C 的方程为 x23-y2=1；B.左焦点到一条渐近线距离为 1；C.直线 x-2y-1=0 与曲线 C 有两个公共点；D.过右焦点截双曲线所得弦长为 2 3 的直线只有三条。第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.设 0 0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若存在 x1,x2满足 0 x1 x2，且 x1+x2=1，f(x1)=f(x2)，求实数 a 的取值范围(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，
7、那么按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1+cos,sin)，参数 0,，直线 l 的方向向量为 a=(1,1)，且过定点 A(-1,0)(1)在平面直角坐标系 xOy 中求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l 上有一点 Q，求 PQ的最小值23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数 f(x)=x+3+x-1,x R，不等式 f(x)2 a+b高三年级 数学试题 第 4 页 共 4 页高三第一次仿真模拟考试理科数学答案10111213.1214.815.1216.317.解：()在 AB
8、C 中，由正弦定理得 BDsinC=BCsinCDB，即 1000sin45=400sinCDB，所以 sinCDB=25，(2 分)由题可知，CDB 90，(4 分)所以 cosCDB=235，即 cos=235(6 分)()由()可知，cosADB=sinCDB=25，(8 分)在 ABD 中，由余弦定理得 AB2=BD2+AD2-2 BD AD cosADB=10002+(400 2)2-2 1000 400 2 25=1000000，所以 AB=1000，故两隧道口 AB 间的距离为 1000 米(12 分)18.解：(1)由散点图知，选择回归类型 y=cxd更适合；(2 分)(2)对
9、 y=cxd两边取对数，得 lny=lnc+dlnx，即 v=lnc+du，(3 分)由表中数据可得 u=v=32，d=28.2556.5=12，令 lnc=m，则 m=v-du=32-12 32=34，即 c=e34，(7 分)所以年销售量 y 和年研发费用 x 的回归方程为 y=e34x；(8 分)(3)由(2)知，z(x)=18 x-92 x，(9 分)令 t=x，则 f(t)=18t-92 t2，当 t=2 时 f(t)取得最小值，(11 分)所以当 x=4 千万元时，年利润 z 取最大值且最大值为 z(4)=18 千万元=1.8 亿元故要使年利润取最大值，预计下一年要投入 0.4 亿
10、元的研发费用(12 分)19.证明:(1)PE EB,PE ED,EB ED=E,EB,ED 平面 EBCD.PE 平面 EBCD(1 分)又 PE 平面 PEB，平面 PEB 平面 EBCD,而 BC 平面 EBCD,BC EB,且平面 PEB 平面 EBCD=EB,所以 BC 平面 PEB,(3 分)而 ME 平面 PBE,BC EM,由 PE=EB,PM=MB 知 EM PB,而 BC PB=B,且 PB,BC 平面 PBC,可知 EM 平面 PBC,(5 分)又 EM 平面 EMN,平面 EMN 平面 PBC.(6 分)(2)方法 1：假设存在点 N 满足题意，过作 MQ EB 于 Q
11、，由 PE EB 知 PE MQ,由(1)得 PE 平面 EBCD,所以 MQ 平面 EBCD,(7 分)过 Q 作 QR EN 于 R,连接 MR,由 MQ 平面 EBCD,且 EN 平面 EBCD,故 MQ EN,1而 QR EN,且 QR QM=Q,QR,QM 平面 MQR则 EN 平面 MQR,而 MR 平面 MQR,则 EN MR,即 MRQ 是二面角 B-EN-M 的平面角,(9 分)不妨设 PE=EB=BC=2,则 MQ=1,在 Rt EBN 中,设 BN=x(0 x 2),由 Rt EBN RtERQ 得,BNRQ=ENEQ即xRQ=22+x21,得 RQ=x22+x2,(10
12、 分)tanMRQ=MQRQ=x2+4x,依题意知 cosMRQ=66,即 tanMRQ=x2+4x=5,解得 x=1 (0,2),此时 N 为 BC 的中点.综上知,存在点 N,使得二面角 B-EN-M 的余弦值66,此时 N 为 BC 的中点.(12 分)方法 2：由(1)知，EB，ED，EP 两两垂直，所以以 E 为原点，分别以 EB，ED，EP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 EB=EP=ED=1，BN=t(0 t 1),则 N(1,t,0)，M12,0,12，(7 分)平面 EBN 的法向量为 m=(0,0,1)(8 分)设面 EMN 的一个法向量
13、为 n=(x,y,z)，则x2+z2=0 x+ty=0，则可取 n=1,1t,1(10 分)所以 cos m,n=11+1+1t2=66，解得 t=12，即 N 为 BC 的中点(12 分)20.解：(1)设 P(x,y)，由已知得(x-1)2+y2=|x|+1，(1 分)当 x 0 时，(x-1)2+y2=(x+1)2，得 y2=4x，(3 分)当 x 0 时，(x-1)2+y2=(-x+1)2，得 y=0;所以点 P 的轨迹方程为 y2=4x 或 y=0(x 0,y0 0)，Q(-1,t)，则 y20=4x0，因为 FP FQ，所以 FP FQ=-2(x0-1)+ty0=0，即 ty0=2
14、(x0-1)，因为 k1=y0 x0，k2=-t，k3=y0-tx0+1，(7 分)所以 k1k2k3=-ty0(y0-t)x0(x0+1)=-t(y20-ty0)x0(x0+1)=-t4x0-2(x0-1)x0(x0+1)=-2tx0=-4(x0-1)x0y0=-4(y20-4)y30=-41y0-4y30=44y30-1y0，(9 分)构造 f(m)=4m3-m(m 0)，所以 f m=12m2-1，令 f m 0，得 m 36，所以 f(m)在 0,36上单调递减，在36,+上单调递增，所以 f(m)min=f36=-39，即 4y30-1y0 的最小值为-39，所以 k1k2k3的最小
15、值为-4 39(12 分)21.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=ax-1x2(1 分)当 a 0 时，f(x)0 时，令 f(x)0，得 0 x 0，得 x 1a，所以函数 f(x)在 0,1a上单调递减，在1a,+上单调递增，综上所述：当 a 0 时，f(x)在(0,+)上单调递减；2当 a 0 时，函数 f(x)在 0,1a上单调递减，在1a,+上单调递增(5 分)(2)f x1=f x2 alnx1+1x1=alnx2+1x2 aln x2x1+1x2-1x1=0，又 x1+x2=1，则 aln x2x1+x1x2-x2x1=0令 t=x2x1 1，即方程 aln
16、t+1t-t=0 在 1,+上有解(7 分)令 h t=alnt+1t-t，t 1,+，则 h t=-t2+at-1t2=a-t+1tt，t 1,+，则 t+1t 2，(8 分)当 a 2 时，h t 0，h t在 1,+上单调递减，又 h 1=0，则 h t 2 时，a2-4 0，令-t2+at-1=0，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为 1 且 t 1，所以 t=a+a2-42当 t 1,a+a2-42时，h t 0;当 t a+a2-42,+时，h t h 1=0，而 h ea=a2+1ea-ea 2令 x=x2+1-ex x 2，则 x=2x-ex，令 m x=x，m x=2-e
17、x 0，则 x在 2,+上单调递减，x 2=4-e2 0，则 x在 2,+上单调递减，x 2=5-e2 0，即 h ea 2 满足题意综上所述，实数 a 的取值范围是 2,+(12 分)22.解：(1)由题知：点 P 的坐标满足 x=1+cosy=sin(0,)所以点 P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y 0)(5 分)(2)直线 l 的方向向量为 a=(1,1)，且过定点 A(-1,0).转换为 l 的参数方程为 x=-1+ty=t(t 是参数)所以直线 l 的直角坐标方程为：y=x+1，(8 分)所以|PQmin|=|1-0+1|12+12-1=2-1(10 分)23.解：()f(x)=|x+3|+|x-1|=-2x-2(x 1),(2 分)当 x -3 时，-2x-2 6，解得-4 x -3；当-3 x 1 时，由 4 1 时，2x+2 6，解得 1 x 2综上，不等式 f(x)6 的解集 M=x|-4 x 2(5 分)()当 a2 M，b2 M 时，即 0 a2 2，0 b2|2|a+b|，只需证(ab+2)2 2(a+b)2，(7 分)只需证 a2b2+4ab+4 2a2+4ab+2b2，只需证 a2b2-2a2-2b2+4 0，只需证(a2-2)(b2-2)0，(9 分)又 a2-2 0，b2-2 0 成立，即原不等式成立(10 分)3