1、第十章算法、统计与概率第6课时几何概型与互斥事件考情分析考点新知几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化对于比较复杂的概率问题，可利用其对立事件求解，或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加法公式求解 了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 了解两个互斥事件的概率加法公式.1. 下列概率模型： 从区间5，5内任取一个数，求取到1的概率； 从区间5，5内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； 从区间5，5内任取一个整数，求取到大于1的数的概率； 向一个边长为5
2、 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率其中，是几何概型的有_(填序号)答案：解析： 5，5上有无限多个数，取到“1”这个数的概率为0，是几何概型； 5，5和1，1上有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间上每个数被取到可能性相同(等可能性)，是几何概型； 5，5上的整数只有11个，不满足无限性，故不是几何概型； 在边长为5 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)，是几何概型2. 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的
3、概率为_答案：解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B).3. 利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_答案：解析：本题是几何概型.3a10，即a，所以P.4. (必修3P116习题4改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为_答案：0.74解析：P1(0.10.16)0.74.5. 欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱的形状是直径为
4、3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是_答案：解析：根据几何概型知P.1. 几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型2. 概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)3. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件4. 如果事
5、件A、B互斥，则事件AB发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)5. 一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)6. 若两个互斥事件必有1个发生，则称这两个事件为对立事件，若事件A的对立事件记作，则P(A)P()1，P()1P(A)备课札记题型1几何概型例1如图，AOB60，OA2，OB5，在线段OB上任取一点C，试求：(1) AOC为钝角三角形的概率；(2) AOC为锐角三角形的概率解：如图，由平面几何知识：当ADOB时，OD1；当OAAE时，OE4，BE1.(1) 当且仅当点C在线段OD或BE上时，AOC为
6、钝角三角形，记“AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)0.4，即AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2) 当且仅当点C在线段DE上时，AOC为锐角三角，记“AOC为锐角三角”为事件N，则P(N)0.6，即AOC为锐角三角形的概率为0.6.(2013湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则_答案：解析：设CD4，根据对称性，由题中条件知，P的活动范围为2，即CP(1，3)当CP3时，BP4，解得BC. ADAB4.题型2古典概型与几何概型的区别与联系例2(2013深圳调研)设函数f(x)x2bxc，其中b、c是某范围内的随机数，分别在下列条
7、件下，求事件A“f(1)5且f(0)3”发生的概率(1) 若随机数b，c1，2，3，4；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b4*Rand()和c4*Rand()的执行结果(注：符号“*”表示“乘号”)解：由f(x)x2bxc知，事件A“f(1)5且f(0)3”，即(1) 因为随机数b、c1，2，3，4，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)事件A：包
8、含了其中6个数对(b，c)，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)所以P(A)，即事件A发生的概率为.(2) 由题意，b、c均是区间0，4中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域中(如图)，其面积S()16.事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S(A)(14)3.所以P(A)，即事件A发生的概率为.已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1) 若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2) 若a2，4，b0，6，求方程没有实根的概率解：设“方程有两个正根”的事件为A，“方程没有实根”的事件
9、为B.(1) 由题意知本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子掷两次所得到的点数依题意知，基本事件(a，b)的总数有36个，二次方程x22(a2)xb2160有两正根，等价于即 则事件A包含的基本事件为(6，1)、(6，2)、(6，3)、(5，3)共4个所求的概率为P(A).(2) 由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域(a，b)|2a4，0b6, 其面积为S()12.满足条件的事件为：B(a，b)|2a4，0b6，(a2)2b216，其面积为S(B)4422. 所求的概率P(B).题型3互斥事件例3某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及
10、以上概率0.10.16xy0.2z(1) 若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2) 若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值解：(1) 由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.10.16x0.56， x0.3.(2) 由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96z1， z0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y0.2z0.44， y0.440.20.040.2.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1) 该队员只属于一支球队的概率；(2) 该队
11、员最多属于两支球队的概率分析：根据韦恩图，正确理解“只属”、“最多”解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员(1) 记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A，则P(A).故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为.(2) 记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B，则P(B)1P(B)1.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为.1. (2013湖北)在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_答案：3解析：由几何概型，得，解得m3.2. (2013南京三模)在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张
12、卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是_答案：解析：从5张卡片中任取两张卡片的基本事件为1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，4，5共10个，其中两卡片上的数字之积为奇数的1，3，1，5，3，5共3种，故数字之积为偶数的概率是1.3. (2013福州模拟)如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1 000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为_答案：2.4解析：记“投掷的点落在矩形ABCD的阴影部分中的”为事件A，阴影部分的面积为S，则P(A)，又由题意，往矩形ABCD投掷1 000个点，落在
13、矩形ABCD的阴影部分的点数为1 000400600个，所以，解得S2.4.4. 已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_答案：解析：由点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离为d5，当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x3yc0，得c15，要使圆上点到直线的距离小于2，即l1：4x3y15与圆相交所得劣弧上，由圆的半径为2，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为P.1. 甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为_答案：0.5解析：甲不
14、输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，0.80.3P(和棋)， P(和棋)0.5.2. (2013江苏高考押题卷 )在区间1，1上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为_答案：解析：0cos在区间1，1上的解应满足和，解得x1或1x.所以0cos的概率是P.3. “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一参与者只须将手上的“金币”(设“金币”的半径为1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为2.1的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠)，便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用所学的概率知识解释这是为什么分析：在抛阶砖
15、游戏中，首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定金币圆心O的位置即可，一旦圆心位置确定，只要当圆心O到其最近正方形的各边的距离大于其半径时，便可获大奖由此不难想到一种临界状态，就是当金币与正方形的一边相切时，此时圆心O到该边的距离为1，显然只有当圆心O到最近正方形的各边的距离大于1时才能获奖，所以若中奖，金币圆心必位于小正方形区域A内解：若中奖，金币圆心必位于下图的小正方形区域A内圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，所以这是一个几何概型其概率为0.0022.4. 正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的一个点(1) 设“VPABCV”的事件为X，求
16、概率P(X)；(2) 设“VPABCV”且“VPBCDV”的事件为Y，求概率P(Y)分析：首先确定点P的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率为.解：(1) 如图，分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE3EA，DF3FB，DG3GC，并连结EF、FG、GE，则平面EFG平面ABC.当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VPABCV，故P(X).(2) 在AB上取点H，使AH3HB，在AC上取点I，使AI3IC，在AD上取点J，使AJ3JD，则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VPBCDV.设JH交EF于M，JI交EG于N，则面
17、MIN面BCD.结合(1)，当P在正四面体DFEG的内部及正四面体AHIJ的内部运动，也即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足VPABCV且VPBCDV，于是P(Y).1. 对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率2. 分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个3. 求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法；一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()若解决“至少”、“至多”型的题目，用后一种方法就显得比较方便解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异请使用课时训练(B)第6课时(见活页)备课札记
