1、课后导练基础达标1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）由1，2，3，4构成的2个元素集合 五个队进行单循环比赛的分组情况 由1，2，3组成两位数的不同方法数 由1，2，3组成无重复数字的两位数A. B. C. D.解析：由组合的定义可得是组合问题.答案：C2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有（ ）A.140种 B.84种 C.70种 D.35种解析：甲型与乙型电视机至少各有1台，共有-=70.答案：C3.男女学生共有8人，从男生中选2人，且从女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）A.2人或3人 B.3人或4人C.
2、3人 D.4人解析：设女生x人，则男生有（8-x）人，C1x=30,解得x=2或3.答案：A4.计算+=_.解析：=,原式=+=+=+=165.答案：1655.8人坐成一排，现要调换3人的位置，其余5人位置不动，共有_种换法.解析：先定出哪3人的位置调换，再定出这3人位置调换的方法，有2=112（种）.答案：1126.马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中三只路灯熄掉，但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灯方法有多少种？解析：问题等价于七只亮着的路灯产生的8个空位中放入三只熄掉的路灯，故有=56（种）.7.男运动员6名，女运动员4名，其中男
3、女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男3名，女2名；（2）队长至少有1人参加；（3）至少有1名女运动员；（4）既要有队长，又要有女运动员.解：（1）=120;（2）分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：+=196；（3）无限制排列中排除无女运动员情况：-=246；（4）分三类：一、仅女队长：；二、仅男队长：-；三、两名队长：；+-+=191.8.若=+=,nN*,求n.解析：由已知得=+所以-=,即=,=（n+3）（n+2）,所以n=2（n=-7舍）.解得m=2,所以=28.9.由正方体的8个顶点和中心可组成多少个四面体？解析：在正方体的顶点和中心共9个点中，
4、其中仅四点共面的情况共6种，5点共面的情况共6种，所以组成的四面体的个数为-6-6=90.10.在一次棋类比赛中，要进行单循环赛，其中有3人，他们各比赛了两场后，因故退出了比赛，因此这次比赛共进行了50场，问开始参赛的人有多少？解析：设3名选手之间比赛了x场，那么3名选手与其余选手比赛了6-2x场，其余的（n-3）名选手之间每两名选手恰好比赛1场，共比赛场.因此比赛总场数为+x+6-2x.则+x+6-2x=50,即（n-3）（n-4）+6-x=50.得（n-3）（n-4）=88+2x,xN,且0x3.当x=0时，得n2-7n-76=0,无正整数解；当x=1时，得n2-7n-78=0,解得n=1
5、3;当x=2或3，方程无正整数解.综合运用11同时满足下列两个条件的非空集合S，（1）S1,2,3,4,5;（2）若aS,则 6-aS,那么S的个数是（ ）A.4 B.5 C.7 D.31解析：由条件知，1、5必须同时选或不选，2、4同时被选或不选，故只需研究1，2，3有几个非空子集即可，则+=7.答案：C12.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.（1）从中任取4个，使红球个数不比白球少，这样的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？解析：（1）问题等价于红球至少取2个，故有+=115（种）.（2）通过分析知红球不少于2个
6、，故有+=186（种）.13.如图，从一个34的方格中的一个顶点A到对顶点B的最短路线有几条？解析：从A到B的最短路线，均需走7步：包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，7步哪些是横向的哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走，所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，7步取出4步（横向走）的一个组合，因从A到B的最短路线共有=35条.拓展探究14在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：（1）共有多少种不同的抽法？（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？解析：（
7、1）所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有=161 700（种）.（2）抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：第一步 从2件次品中任取1件，有种方法；第二步 从98件正品中任取2件，有种方法.根据分步乘法计数原理，不同的抽取方法共有=2=24 753=9 506（种）.（3）解法一：抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：第一类 抽出的3件中有1件是次品的抽法，有种；第二类 抽出的3件中有2件是次品的抽法，有种.根据分类加法计数原理，不同的抽法共有+=9 506+98=9 604（种）.解法二：从100件产品中任取3件的抽法，有种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有种.所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有-=161 700-152 096=9 604（种）.