1、课堂导学三点剖析一,利用作差法比较两个数的大小【例1】 设x,y,z均为正数,且xy+yz+zx=1,求证:x+y+z.思路分析:要证x+y+z,只需证(x+y+z)23,然后再用作差比较法.解答:(x+y+z)2-3=(x+y+z)2-3(xy+yz+zx)=x2+y2+z2-xy-yz-zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20,(x+y+z)23.又x0,y0,z0,x+y+z0,x+y+z.温馨提示利用作差比较法证明不等式的一般步骤是:(1)作差;(2)变形:可以利用分解因式,配方,判别式等手段;(3)确定符号:这部分是此题的给分点,故应对确定符号的理由逐一阐述.二,利用作商法比
2、较大小【例2】 已知a0,b0,求证:aabbabba.思路分析:直接作差不易进行下去,考虑到不等式的两边都是指数形式,因而先对两边取对数进行化简.证明:=aa-bbb-a=()a-b,当ab0时,由于1,a-b0,()a-b1.当0ab时,由于01,a-b1.aabbabba.温馨提示比商法一般步骤:(1)作商;(2)变形:一般用指数函数的性质进行变形;(3)确定与1的大小关系.三,比较法的综合应用【例3】 甲,乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度 n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果mn,问甲,乙两人谁先到达指定地点?解
3、析：设从出发地点至指定地点的路程是s,甲,乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有m+n=s,+=t2.t1=,t2=.t1-t2=-=,其中s,m,n都是正数,且mn,于是t1-t20,即t1sB.tsC.tb0,求证:.证明:用求商法证.=1.原不等式成立.变式提升2求证:aabb(ab)(a0,b0).证明:,若ab0,则1,0,故()1;若0ab ,则01,1;若a=b0,则aabb=(ab).综述,aabb(ab).类题演练3已知a,b是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.证明:(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b)，a,b是正数,a+b0.又ab,(a-b)20.(a-b)2(a+b)0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)0.a3+b3a2b+ab2.变式提升3已知a,b是正实数,求证:+.证明:因为+-=+=0.所以+.
