1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若a,b,cR,且ab,则下列不等式一定成立的是()A.a+cb-cB.(a-b)c20C.acbcD.【解析】选B.a,b,cR,且ab,可得a-b0,因为c20,所以(a-b)c20.2.函数f(x)=x2+bx+c的零点为-1和2,那么不等式x2-bx+c0的解集为()A.x|-2x1B.x|-1x2C.x|x2D.x|x1【解析】选A.二次函数f(x)=x2+bx+c的零点为-1和2,则对应一
2、元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根为-1和2,所以b=-(-1+2)=-1,c=-12=-2,所以不等式x2-bx+c0化为x2+x-20,解得-2x1,所以不等式的解集为x|-2x0,b0)过点(-1,2),当+取最小值时直线l的斜率为()A.B.C.2D.2【解析】选B.由题意可得,a+2b=2,则+=+=1+1+2,当且仅当=即a=b时取等号,此时直线的斜率k=.4.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,则S5=()A.15B.16C.31D.32【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1+a3=5,a2+a4=10,所以q(a1+a3)=5q=
3、10,a1(1+q2)=5,联立解得:a1=1,q=2,则S5=31.5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=,c=,C=,则ABC的面积为()A.2B.2C.3D.3【解析】选A.因为b=,c=,C=,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得:26=a2+2-2a,即a2+2a-24=0,解得a=4(负值舍去),所以=absin C=4sin =2.6.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15=()A.80B.90C.100D.110【解析】选B.等差数列an中,前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,S5,S10-S5,S
4、15-S10成等差数列,即10,30,S15-40成等差数列,则S15-40=50,所以S15=90.7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A+sin C),则B=()A.B.C.D.【解析】选D.因为(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A+sin C),则由正弦定理可得(b-c)(b+c)=a(a+c),即a2+c2-b2=-ac.则由余弦定理得cos B=-.又0B0,故a0,b0,所以(a+b)=1+16+17+2=25,所以+=,当且仅当=,即b=4a时,取“=”,由a=1+d,b=19-d,解得d=3,所以
5、19=1+(n+1)3,所以n=5.11.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 kmC.30 kmD.30 km【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC中BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船与灯塔的距离为60 km.12.由三角形三边a,b,c直接求三角形面积问题中海伦公式很有名,它的表示形式为S=,其中p=(a+b+c),现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为()A.4B.8C.4D.
6、8【解析】选B.由题意,p=10,S=8,当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形面积的最大值为8.二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式3的解集为.【解析】不等式变为-30,即0,0,解得x0),因为2a5+a4=a3,所以2a1q4+a1q3=a1q2,即2q2+q-1=0,解得q=或-1(舍去),因为存在两项am,an,使得8=a1,所以8=a1,即=,所以m+n=8.因为+=(m+n)=2,当且仅当=,即m=6,n=2时,“=”成立.则+的最小值为2.答案:2【补偿训练】已知数列an的通项公式为an= ,则数列an前15项和S15的值为.【解析】因为数列an的通项公式为an=,
7、所以S15=+(-5-3-1+1+7)=(1-+-+-)+7=+=+7=.答案:16.已知ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2且(2a-c)cos B=bcos C,则ABC面积的最大值为.【解析】在ABC中,利用正弦定理化简(2a-c)cos B=bcos C,得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,即2sin Acos B=sin(C+B)=sin A,因为sin A0,所以cos B=,因为B(0,),所以B=,因为b=2,所以根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
8、即12=a2+c2-ac,因为a2+c22ac(当且仅当a=c时取等号),所以12=a2+c2-ac2ac-ac=ac,即ac12,当且仅当a=c时取等号,所以=acsin B=ac3,则ABC面积的最大值为3.答案:3三、解答题(共70分)17.(10分)已知函数f(x)=(ax+a+1)(x-1)(xR).(1)若a=1,解不等式f(x)0.(2)若a0.【解析】(1)a=1时,函数f(x)=(x+2)(x-1),不等式f(x)0化为(x+2)(x-1)0,解得x1,所以不等式的解集为x|x1.(2)a0化为(x-1)0,若-a1,解不等式得1x-1-;若a=-,则-1-=1,不等式化为(
9、x-1)20,无解;若a-,则-1-1,解不等式得-1-x1;综上所述,-a0时,不等式的解集为;a=-时,不等式的解集为;a-时,不等式的解集为.18.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小;(2)若b=4,a+c=8,求ABC的面积.【解析】(1)由=,可得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,可得2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,由于sin A0,得cos B=,由于B(0,),则B=;(2)因为b=4,B=,a+c=8,利用余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得16=a2+c2-ac=(
10、a+c)2-3ac=64-3ac,可得ac=16,则ABC的面积S=acsin B=16=4.【补偿训练】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A0,所以sin=sin B.由A+B+C=180,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos0,故sin=,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0
11、C90,由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而SABC0,由0q0,所以a2+a4=5,即a1q+a1q3=5,由解得q=(q=2舍去),a1=8,则an=8=;(2)bn=log2an=log2=4-n,可得Sn=n(3+4-n)=,=,则+=3+=n=-+,可得n=6或7时,+取最大值.则n的值为6或7.【补偿训练】已知数列an的前n项和为Sn,Sn=nan+n(n-1),且a5是a2和a6的等比中项.(1)证明:数列an是等差数列并求其通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.【解析】(1)Sn=nan+n(n-1),可得Sn+1=(n+1)an+1+n(n+1),
12、相减可得Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan+n(n+1)-n(n-1),化简得an+1=(n+1)an+1-nan+2n,即为nan+1-nan=-2n,即有an+1-an=-2,则数列an是公差为-2的等差数列.a5是a2和a6的等比中项,可得=a2a6,即(a1-8)2=(a1-2)(a1-10),解得a1=11,则an=11-2(n-1)=13-2n.(2)bn=-,则数列bn的前n项和为-+-+-+-=-=.20.(12分)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,C=120.(1)若a=2b,求tan A的值;(2)若ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求ABC周
13、长的最小值.【解析】(1)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,C=120.因为a=2b,所以sin A=2sin B,整理得:sin A=2sin(180-120-A),整理得:sin A=2cos A-2sin A,解得tan A=.(2)ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,利用三角形的面积公式得absin 120=a|CD|sin 60+b|CD|sin 60,所以ab=a+b,整理得+=1,所以a+b=(a+b)=1+12+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以c2=a2+b2-2abcos 120,解得c=2,所以ABC周长的最小值为2+2+2=4+2.【补偿训
14、练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C=-2bcos A-ccos A.(1)求角A的大小;(2)若a=4,求ABC周长的最大值.【解析】(1)因为acos C=-2bcos A-ccos A,所以由正弦定理可得sin Acos C=-2sin Bcos A-sin Ccos A,可得:sin Acos C+sin Ccos A=-2sin Bcos A,即:sin B=-2sin Bcos A,因为sin B0,所以cos A=-,即A=.(2)由(1)可得A=,则cos A=-,所以(b+c)2=16+bc16+,即b+c,当且仅当b=c=时取最大值.故当ABC
15、为等腰三角形时,周长最大为4+.21.(12分)某家用轿车的购车费9.5万元,保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4 000元,每年行车里程按1万公里,前5年性能稳定,每年的油费5 000元,由于磨损,从第6年开始,每年的油费以500元的速度增加,按这种标准,这种车开多少年报废比较合算?【解析】设这种车开x年报废比较合算,当x6时,总费用为:y=95 000+4 000x+5 000x+5001+2+3+(x-5)=95 000+4 000x+5 000x+250(x-4)(x-5)=250x2+6 750x+100 000,平均费用:=250x+6 7502+6 750=16 750
16、.当250x=,即x=20时取最小值.当x5时,平均费用:+9 00016 750.所以这种车开20年,平均使用费用最低,故这种车开20年报废比较合算.22.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,nN*,数列bn满足n-(n+1)bn=n(n+1),nN*,且b1=1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=an,数列cn的前n项和为Tn,对任意的nN*,都有TnnSn-a,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意,当n=1时,S1=2a1-1=a1,所以a1=1,当n2时,Sn=2an-1,=2-1,-得:Sn-=2an-2,即an=2,又a1=1,所以=2,
17、所以数列an是首项a1=1,公比q=2的等比数列,从而数列an的通项公式为an=2n-1,又由n-(n+1)bn=n(n+1)两边同时除以n(n+1)得:-=1,所以数列为首项b1=1,公差d=1的等差数列,所以=n,从而数列bn的通项公式为bn=n2.(2)由(1)得cn=an=n2n-1,所以Tn=11+22+322+(n-1)2n-2+n2n-1,所以2Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n,-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n,所以Tn=(n-1)2n+1,又由(1)得Sn=2an-1=2n-1,因为对任意的nN*,都有TnnSn-a,即(n-1)2n+1n(2n-1)-a恒成立,所以a2n-n-1恒成立,记dn=2n-n-1,则a(dn)min,因为dn+1-dn=2n+1-(n+1)-1-(2n-n-1)=2n-10,从而数列dn为递增数列,所以当n=1时,dn取最小值d1=0,所以a0.关闭Word文档返回原板块
