1、2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=cos0，sin270，B=x|x2+x=0，则AB为（）A0，1B1，1C1D02用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）Aa、b、c三个实数中最多有一个不大于零Ba、b、c三个实数中最多有两个小于零Ca、b、c三个实数中至少有两个小于零Da、b、c三个实数中至少有一个不大于零3用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加
2、了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项4若两个正数a，b满足2a+b4，则的取值范围是（）Az|1z1Bz|1z或z1Cz|1z1Dz|1z或z15已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A在，上是增函数B其图象关于直线x=对称C函数g（x）是奇函数D当x，时，函数g（x）的值域是2，16a，b，cR+，设S=，则下列判断中正确的是（）A0S1B1S2C2S3D3S47已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1
3、=1，Sn是数列an前n项的和，则（nN+）的最小值为（）A4B3C22D8如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nN）个点，每个图形总的点数记为an，则=（）ABCD9某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A2B2C2D410如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面ACDEC三棱锥EFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直11已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x
4、0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBbcaCacbDcab12函数f（x）=+的性质：f（x）的图象是中心对称图形；f（x）的图象是轴对称图形；函数f（x）的值域为，+）；方程f（f（x）=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知与的夹角为60，且，求14在等式+=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是15如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面
5、分别与棱BB、DD分别交于M，N两点，设BM=x，x0，1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDDB；直线AC平面MENF始终成立；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是16关于x的不等式（ax1）（lnx+ax）0在（0，+）上恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（共6小题，满分70分）17已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围18已知命题p：函
6、数f（x）=x2+ax2在2，2内有且仅有一个零点命题q：x2+ax+20在区间1，2内有解若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围19已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（nN*）（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足：，求数列bn的通项公式；（）令（nN*），求数列cn的前n项和Tn20如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BDCF，且FAAD，EFAD，EF=AF=a（）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ平面ABCD；（）求多面体ABCDEF的体积21函数f（x）=x2+mln（x+1）
7、（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=1，试比较当x（0，+）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e14+e29+e成立22已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）g（x2）的最小值2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=cos0，sin270，B=x|x2+x=0，则AB为（）A0
8、，1B1，1C1D0【考点】交集及其运算【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：A=cos0，sin270=1，1，B=x|x2+x=0=x|x（x+1）=0=1，0，AB=1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）Aa、b、c三个实数中最多有一个不大于零Ba、b、c三个实数中最多有两个小于零Ca、b、c三个实数中至少有两个小于零Da、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法
9、与放缩法【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零故选：C【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口3用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增
10、加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“+（n2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论【解答】解：，=故选C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立4若两个正数a，b满足2a+b4，则的
11、取值范围是（）Az|1z1Bz|1z或z1Cz|1z1Dz|1z或z1【考点】基本不等式【分析】如图所示，画出可行域即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，2）所在直线的斜率的2倍分别求出直线OQ，BQ的斜率即可【解答】解：由，即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，2）所在直线的斜率的2倍，kOQ=2，kQB=2，z1或z1，故选：D【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题5已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得
12、到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A在，上是增函数B其图象关于直线x=对称C函数g（x）是奇函数D当x，时，函数g（x）的值域是2，1【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求【解答】解：f（x）=sinx+cosx=，由题意知，则T=，=，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x其图象如图：由图可知，函数在，上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；
13、，当x，时，函数g（x）的值域是2，1，D正确故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题6a，b，cR+，设S=，则下列判断中正确的是（）A0S1B1S2C2S3D3S4【考点】反证法与放缩法【分析】要判断所给的式子的范围，观察式子的特点，分母是一个利用四个字母中的三个做分母的题目，采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和，在把所得的结果相加，得到结论，同时以两个为一组，进行放缩，得到式子小于2，得到结果【解答】解：=即S1，得，即，得S2，所以1S2故选B【点评】本题考查放缩法求解一个式子的取值范围，是一
14、个典型的放缩法，两端都可以变化，可大可小，这种问题经常出现在高考卷中的大型综合题目中7已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列an前n项的和，则（nN+）的最小值为（）A4B3C22D【考点】等差数列的性质【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列an的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值【解答】解：a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，（1+2d）2=1+12d得d=2或d=0（舍去），an =2n1，Sn=n2，=令t=n+1，则=t+262=4当且仅当t=3，即n=2时，的最小值为
15、4故选：A【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题8如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nN）个点，每个图形总的点数记为an，则=（）ABCD【考点】归纳推理【分析】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列的特点可用列项法求出=，将n=2014代入可得答案【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n3，即an=3n3，令Sn=+=1+=1=，=，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题属基础题9某四面体的三视图如图所示该四面体的六
16、条棱的长度中，最大的是（）A2B2C2D4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面ABC为俯视图中的钝角三角形，BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA=2，又在钝角三角形ABC中，AB=故选C【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题10如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形
17、，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面ACDEC三棱锥EFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：AD=AE，ABC是正三角形，A在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面AGF一定过平面BCED的垂线，恒有平面AGF平面BCED，故B正确；三棱锥AFED的底面积是定值，体积由高即A到底面的距离决定，当平面ADE平面BCED时，三棱锥AFED的
18、体积有最大值，故C正确；当（AE）2+EF2=（AF）2时，面直线AE与BD垂直，故错误故选：D【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力11已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBbcaCacbDcab【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解答】解：设h（x）=xf（x
19、），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=2f（2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（ln2）=h（ln2），又2ln2，bca故选：C【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题12函数f（x）=+的性质：f（x）的图象是中心对称图形；f（x）的图象是轴对称图形；函数f（x）的值域为，+）；方程f（f（x）=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）ABCD【考
20、点】命题的真假判断与应用【分析】因为函数不是奇函数，所以错误利用函数对称性的定义进行判断利用两点之间线段最短证明利用函数的值域进行判断【解答】解：因为f（x）=+f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误因为f（3x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以正确由题意值f（x）f（），而f（）=+=，所以f（x），即函数f（x）的值域为，+），正确设f（x）=t，则方程ff（x）=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3因为函数f（x），所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以错误故正确的说法为：故选：C【点评】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运
21、算量较大，考查学生的分析能力二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知与的夹角为60，且，求0或2【考点】平面向量数量积的运算【分析】把两边平方，代入已知化为关于|d的一元二次方程求解【解答】解：由与的夹角为60，且，得，即，得，解得|=0或|=2故答案为：0或2【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题14在等式+=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是64【考点】基本不等式【分析】设依次填入的三个数分别为x、y、z，根据柯西不等式，即可得到（x+y+z）（+）（1+3+4）2=64，问题得以解决【解答】解：
22、设依次填入的三个数分别为x、y、z，则根据柯西不等式，得 （x+y+z）（+）（1+3+4）2=64x=8，y=24，z=32时，所求最小值为64故答案为：64【点评】本题考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是关键，属于基础题15如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB、DD分别交于M，N两点，设BM=x，x0，1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDDB；直线AC平面MENF始终成立；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结
23、构特征【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断的正误；直线与平行判断的正误；分析说明函数的单调性判断的正误；求出几何体的体积即可判断的正误【解答】解：对于：显然，EFBD，又EFDD，EF平面BDDB，平面MENF平面BDDB；正确；对于：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EFac，且EF平面MENF，AC平面MENF，直线AC平面MENF始终成立，故正确；对于：M在A时，N在D，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x0，1不是单调函数故不正确；对于：连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三
24、棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V为常函数，所以正确综上，正确的有故答案为：【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题16关于x的不等式（ax1）（lnx+ax）0在（0，+）上恒成立，则实数a的取值范围是a或a=e【考点】函数恒成立问题【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围【解答】解：a0，则lnx+ax0，令y=lnx+ax，则y=+a，0x时，y0，x时，y0x=时，函数取得最大值ln（）1，lnx+ax0，ln（
25、）10，a；a=0时，则lnx0，在（0，+）上不恒成立，不合题意；a0时，或，a=e，综上，a或a=e【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围【考点】余弦定理；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定
26、，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围【解答】解：（1）sin2C=2sinAsinB，由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）又a2+b2=6abcosC=3c2cosC由得1+cosC=3cosC，cosC=，又0C，C=；（2）=sin（x）f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，T=2f（x）=sin（2x）f（A）=sin（2A）A，02A0sin（2A）10f（A）【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题18已知命题p：函数f（x）=x2+ax2在2，2内有且仅有一个
27、零点命题q：x2+ax+20在区间1，2内有解若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax2在2，2内有且仅有一个零点0，可得f（2）f（2）0，解得a范围命题q：x2+ax+20在区间1，2内有解，可得a由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题即可得出【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax2在2，2内有且仅有一个零点=a2+80，f（2）f（2）=（22a）（2+2a）0，解得a1，或a1命题q：x2+ax+20在区间1，2内有解，a=3命题“p且q”是假命题，p与q都是假命题，解得1a1实数a的取值范围是（1，1）【
28、点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（nN*）（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足：，求数列bn的通项公式；（）令（nN*），求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式【分析】（）当n=1时，a1=S1=2，当n2时，an=SnSn1=n（n+1）（n1）n=2n，由此能求出数列an的通项公式（）由（n1），知，所以，由此能求出bn（）=n（3n+1）=n3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+cn=（13+2
29、32+333+n3n）+（1+2+n），令Hn=13+232+333+n3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列cn的前n项和【解答】解：（）当n=1时，a1=S1=2，当n2时，an=SnSn1=n（n+1）（n1）n=2n，知a1=2满足该式，数列an的通项公式为an=2n（）（n1）得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（nN*）（）=n（3n+1）=n3n+n，Tn=c1+c2+c3+cn=（13+232+333+n3n）+（1+2+n）令Hn=13+232+333+n3n，则3Hn=132+233+334+n3n+1得：2Hn=3+32+33+3nn3n+1=，数
30、列cn的前n项和【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用20如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BDCF，且FAAD，EFAD，EF=AF=a（）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ平面ABCD；（）求多面体ABCDEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（）连结AC
31、，推导出BDAC，从而FA平面ADEF，由此能证明平面ADEF垂直于平面ABCD（）作PSAB，QTAD，EMAD，S，T，M是垂足，推导出四边形PSTQ是平行四边形，从而PQST，由此能证明PQ平面ABCD（）多面体ABCDEF的体积V多面体ABCDEF=VFABCD+VCDEF，由此能求出结果【解答】证明：（）连结AC，ABCD是正方形，BDAC，平面ABCD平面ADEF，AFAD，平面ABCD平面ADEF=AD，FA平面ADEF，平面ADEF垂直于平面ABCD（）作PSAB，QTAD，EMAD，S，T，M是垂足，在ABF中，PS：AF=BP：BF=1：2，PS=AF，在直角梯形ADEF中
32、，QT=EM=AF，PSQT，四边形PSTQ是平行四边形，PQST，ST平面ABCD，PQ平面ABCD解：（）多面体ABCDEF的体积：V多面体ABCDEF=VFABCD+VCDEF=【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21函数f（x）=x2+mln（x+1）（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=1，试比较当x（0，+）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e14+e29+e成立【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明【分析】（1）分f（x）0
33、或f（x）0在（1，+）上恒成立两种情况；（2）令m=1，通过求导，得g（x）=f（x）x3在（0，+）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2x3ln（x+1）（x（0，+），变形为 （x（0，+），相加计算即可【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f（x）0或f（x）0在（1，+）上恒成立下面分两种情况讨论：当f（x）=0在（1，+）上恒成立时，有m在（1，+）上恒成立，故m；当f（x）=0在（1，+）上恒成立时，有m在（1，+）上恒成立在（1，+）上没有最小值，不存在实数m使f（x）0在（1，+）上恒成立综上所述，实数m的取值范围是）；（2）当m=1时，即函数f（x）=x2ln（x+
34、1）令g（x）=f（x）x3=x3+x2ln（x+1），则=，显然，当x（0，+）时，g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x（0，+）时，恒有g（x）g（0）=0，即f（x）x30恒成立，故当x（0，+）时，有f（x）x3（3）由（2）可知x2x3ln（x+1）（x（0，+），所以，即（x（0，+），当x取自然数时，有（nN*），所以e0+e14+e29+e（1+1）+（2+1）+（3+1）+（n+1）=1n+1+2+3+4+n=【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力22已知
35、函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）g（x2）的最小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值（2）求出g（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为；故在x=1处的切线的斜率为2；f（x）=1+，故f（1）=1+a=2；解得，a=1（2）=x+lnx+x2bx，x0g（x）=1+xb=令g（x）=0，得x2（b1）x+1=0，x1+x2=b1，x1x2=1，g（x1）g（x2）=（x1+lnx1+x12bx1）（x2+lnx2+x22bx2）=ln+（x12x22）（b1）（x1x2）=ln+（），0x1x2，设t=，（0t1）设h（x）=lnt（t），则h（x）=（1+）=0（x1+x2）2=t+20t1，9t282t+90解0t，h（t）h（）=ln（9）=ln9g（x1）g（x2）的最小值ln9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用