1、河南省博爱英才学校2020-2021学年高二数学上学期11月月考试题 理一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、若全集，集合，则等于()A.或 B.或C.或 D.或2、设，则()A.B.C.D.3、平面内到点、的距离之差等于的点的集合是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线4、已知的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的倍,则最小角的余弦值为( )A.B.C.D.5、点是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定通过三角形的（）A.重心B.垂心C.外心D.内心6、设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任一点，从某一焦点引的平分线的垂线，垂足是，则点的轨迹为（
2、）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )A.B.C.D.与关系不确定8、已知圆锥的底面圆心为,为圆锥的两条母线,且与圆锥底面所成的角为,则与平面所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.9、已知数列的通项公式为，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列前项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.10、设椭圆的左右焦点分别为,过点的直线与交于点. 若,且,则的离心率为( )A
3、.B.C.D.11、锐角三角形的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则_. 14、函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为_15、已知数列满足，数列前项和为，则_16、在中，分别是角的对边，若，则的取值范围是_三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题
4、12分,共6小题70分)17、已知等比数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，求的最大值及相应的值18、已知,第三个顶点在曲线上移动,求的重心的轨迹方程.19、设函数.（1）求的最小正周期及值域；（2）已知中，角的对边分别为，若，求的面积20、已知数列满足，数列的前项和（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和21、如图，四边形为正方形，平面，.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值22、椭圆：的焦点到直线的距离为，离心率为；抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合；斜率为的直线过的焦点，与交于，与交于，.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求出的值；若不
5、存在，请说明理由答案解析第1题答案D第1题解析集合，或，.,或.故选D.第2题答案B第2题解析，则，则，即，又，即，同时第3题答案D第3题解析设动点为,则,点的轨迹为一条射线.第4题答案A第4题解析由题意,设的三边长分别为,对应的三角分别为,由正弦定理得,所以.又根据余弦定理的推论得.所以,解得,所以,即最小角的余弦值为.第5题答案A第5题解析作出如图的图形，且，由于.由加法法则知，在三角形的中线上,故动点的轨迹一定通过的重心.第6题答案A第6题解析如图所示，点在双曲线的右支上，有 .延长、交于.，代入，则，即.取线段中点，则由是中点有：.的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.故选A.第7题答案C第
6、7题解析设内切圆在上的切点为，上的切点为，上的切点为，的坐标为，即，延长交于，是角平分线和垂线，是的中点，是的中点，是中位线，.第8题答案B第8题解析设,圆锥的底面圆心为,为圆锥的两条母线,与圆锥底面所成的角为,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则平面的法向量,设与平面所成的角为,则,与平面所成的角的正弦值为.第9题答案D第9题解析由已知，等比数列的前项为，所以，显然是递增数列，且，因为存在，使对任意，总有成立，则，所以.第10题答案A第10题解析如图所示,则.,则.在等腰中,可得.在中,由余弦定理可得:,由,得,整理得:,则.第11题答案C第11题解析设，组成的等差数列公差为（），则
7、，即，当时，取得最大值；由得，即，解得，由三角形为锐角三角形可知，即，解得，解得，综上，故选C第12题答案A第12题解析设，则第13题答案第13题解析由题意可知过焦点的直线方程为，联立.又，第14题答案第14题解析解：函数的图象恒过定点，函数且的图象恒过定点的坐标为，由题意得：，（当且仅当时取等号）的最小值为第15题答案第15题解析数列满足，从第一项开始，个一组，则第n组的第一个数为，即正好是前组的和，第16题答案第16题解析，即，当且仅当时取等号，又有，得，第17题答案(1)；(2)第17题解析(1)，又，；(2)设，则，是首项为，公差为的等差数列，或时，最大，其最大值是第18题答案.第18
8、题解析设的重心为,顶点的坐标为,由重心坐标公式,得,故.因为点在曲线上移动,所以,即.所以即为所求轨迹方程.第19题答案（1）的最小正周期为，值域为；（2）.第19题解析（1）， 的最小正周期为, 故的值域为.（2）由，得，又，得，在中，由余弦定理，得,又,所以，解得，的面积.第20题答案（1）、；（2）第20题解析（1），则， 数列是以公比为，首项为的等比数列. 故数列的通项公式为； 数列的前项和， 当时，； 当时，不满 足；故.（2），当时，； 当时， 即； ； 由得： ； ， ， 故.也满足； 综述，.第21题答案（1）略；（2）第21题解析如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射
9、线DA，DP，DC为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)证明：依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)则所以.即PQDQ，PQDC.又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，设是平面PBC的一个法向量，则，因此可取设是平面PBQ的一个法向量，则，可取所以，由图可知，二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.第22题答案（1），（2）第22题解析(1)设椭圆、抛物线的公共焦点为，由题意得，故，.所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.(2)存在设，直线的方程为，与椭圆的方程联立得，化简得，可知，.直线的方程与抛物线的方程联立得，化简得，可知.，要使为常数，则，得，故存在，使为常数
