1、江西省上饶市“山江湖”协作体2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一 、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.若集合，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合，解不等式,可得，所以所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.2.有下列函数：；其中最小值为4的函数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式
2、成立的条件,即可判断四个函数最小值是否为4.【详解】对于,满足基本不等式”一正二定三相等”的条件,所以最小值为4对于,把函数化为,满足基本不等式”一正二定三相等”的条件,所以最小值为4对于,最小值在时取到,解得,在内无解,所以不存在最小值.对于,当时,可能会小于0,所以最小值不是4综上所述,最小值为4 的函数有所以选B【点睛】本题考查了基本不等式及其使用条件,注意”一正二定三相等”的要求,属于基础题.3.不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A. 成等比数列而非等差数列B. 成等差数列而非等比数列C. 既成等差数列又成等
3、比数列D. 既非等差数列又非等比数列【答案】B【解析】由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.4.直线，的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将直线化为点斜式,根据倾斜角范围即可求得倾斜角.【详解】直线所以即设倾斜角为 所以斜率等于即所以即,化简可得,所以即所以选C【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系,三角函数式的化简,属于基础题.5.设，是两个非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为的图象是一条直线，故选A考点：1向量数量积的运算；2向量垂直6.将6
4、位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有（ ）种A. 1080个B. 1280个C. 2160个D. 4320个【答案】A【解析】【分析】根据排列组合数计算,先从6位志愿者选出2个人然后再从剩余4个人选出2个人,再从剩余2个人选1个人.对四组人全排列,除以重复情况即可求得分配方法的总数.【详解】根据分步计数原理,由题意可知,先从6位志愿者选出2人,共有种选法从剩余4人中选2人共有种选法再从剩余2人中选1人共有种选法对四组人员进行全排列,则共有种方法因为四组人员中,有2组2人,2组1人,所以重复出现的分配方法有种方法所以不同的分配方案共有
5、种所以选A【点睛】本题考查了排列组合在实际问题中的应用,关键是分配过程中出现的重复情况要排除,属于中档题.7.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内填（ ）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次代入计算，即可求得输出值为，通过输出值即可知判断框里的不等式。【详解】由题意可知， ，否，否，否，是所以当时，此时跳出循环体。所以判断框的内容为？所以选B【点睛】本题考查了补全程序框图的条件，注意每次计算的结果是返回执行循环体，还是退出循环体，属于基础题。8.已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】画出可行域如下
6、图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.9.已知矩形中，.如果向该矩形内随机投一点，那么使得与面积都不小于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.10.设，为正实数，若直线与圆相切，则( )A. 有最小值，无最大值B. 有最小值，最大值C. 有最大值，无最小值D. 有最小值，无最大值【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相
7、切，可得，的关系，结合基本不等式即可求得的取值情况。【详解】因为直线与圆相切圆的方程可化为所以圆心到直线的距离等于半径，即 整理可得 因为，为正实数所以，当且仅当等号成立即令 则不等式可化为解不等式可得或（舍）即所以即有最小值，无最大值所以选D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式在求最值中的应用，化简较为繁琐，属于中档题。11.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先证明函数为奇函数与单调性，再将不等式转化为关于的不等式，根据存在性成立问题的解法即可求得实数的取值范围。【详解】因为函数所以所以函数为奇函数当，为单调递增函数
8、为单调递增函数所以在上为单调递增函数因为所以，根据为奇函数可得由为单调递增函数可得即因为使得成立即而在上的最小值为 所以所以选B【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性的综合应用，存在性成立问题中参数的求法。关键是能够意识到需判断函数的奇偶性，再解决问题，属于中档题。12.已知函数满足，当时，；当时，.若函数在上有五个零点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在上有五个零点等价于方程在上有五个不同的实数根，即与的图像在上有五个交点，结合图像可得，当直线过点时，取得最小值，此时。【详解】有题意知，则的周期为。又在上有五个零点等价于方程在上有五个不同的实数根，即与的图像
9、在上有五个交点。图像如下：由图像可得，当直线过点时，取得最小值，此时。故选A【点睛】本题考查了函数的周期性，三角函数的图像与性质，零点与方程的综合应用，体现了数形结合的思想，考查学生计算，分析，作图的能力，为考试常考题型，属中档题。二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。13.中，、是它的两边，是的面积，若，则的形状为_.【答案】等腰直角三角形【解析】【分析】根据三角形的面积，结合与基本不等式即可求得C，同时根据基本不等式成立条件，即可判断出三角形形状。【详解】因为，而由正弦定理可知即，化简可得因为、是两边， 所以在三角形中，所以，即 而当时， 所以是等腰直角三角形【点睛】本题考查了三
10、角形面积公式的应用，基本不等式及三角函数值域的有界性，属于中档题。14.设的展开式中的常数项为-16，则_【答案】-1【解析】 的展开式中的常数项为.所以.故答案为-1.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为 cm3【答案】【解析】试题分析：根据已知条件，分析原几何体的形状，进而结合公式求解运算。因为结合三视图可知，该几何
11、体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为2，那么可知棱锥的体积公式为，故正确的答案为考点：本试题主要是考查了三视图还原几何体的运用，求解体积问题。点评：解决该试题的关键是能将三视图还原为实物图，同时得到对应的长度和高度，然后结合空间几何体的体积公式计算。突破口是俯视图，确定底面的形状。16.已知数列，.满足条件“”的数列个数为_.【答案】233【解析】【分析】根据条件，可知只能取0或1，而，讨论六个数中0、1和的个数，即可知满足条件数列的个数。【详解】因为所以只能取0或1而所以中出现0的个数可以是6个，5个，4个，3个。若出现6个0，则数列为常数数列，共有1个数列。若出现5个0，则出现一个1，
12、或一个，因而数列个数为个数列。若出现4个0，则出现两个1，或两个，或一个1、一个，因而数列个数为个数列若出现3个0，则出现三个1，或两个1、一个，或一个1、两个，或三个，因而数列的个数为个数列综上所述，数列的个数为 个【点睛】本题考查了排列组合、集合与数列的综合应用，注意在排列组合中分类讨论时要做到不重不漏，属于难题。三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知且，求函数的最大值和最小值【答案】最小值为，最大值为2.【解析】【分析】由已知条件化简得，然后化简求出函数的最值【详解】由得，即.当 ，当 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键
13、，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础。18.在中，.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围【答案】(1)；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式，代入化简即可求得值，进而求得角。（2）根据正弦定理，分别用B、C表示出、，结合，将周长表示为B的三角函数式。根据三角形中角B的取值范围，结合三角函数值域的有界性，可求得周长的取值范围。【详解】（1）因为，由二倍角公式所以， 所以，所以，又因为，所以 （2）因为所以，所以因为，所以又因为，所以，所以【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理及辅助角公式等在三角函数中的应用，三角函数值域的综合应用，属于中档题。19.上饶某中学一研究性学习
14、小组早晨在校门口询问调查同学的体重，对来校同学依次每5人抽取一人询问体重，共抽取40位同学，将他们的体重（分成六段：，统计后得到如图的频率分布直方图（1）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40位同学体重的众数和中位数的估计值（2）从体重在的同学中任意抽取3位，求体重在，内都有同学的概率【答案】（1）系统抽样，众数57.5， 中位数 575； （2）【解析】【分析】（1）因为是依次每隔5人选取数据，因而是系统抽样。根据频率分布直方图中众数和中位数分布，计算可得众数及中位数的估计值。（2）先求得体重在，的人数。然后求得3人体重都在内，3人体重都在内的概率，根据对立事件概率求法即
15、可求得抽取的3人体重既有在，也有在内的概率【详解】（1）由题意可知，抽取的样本为依次每5人抽取一人，是等间隔抽样，所以是系统抽样.由频率分布直方图可知，最高矩形的底边中点值即为众数，所以众数为 从左侧开始，频率依次求和等于0.5时加到这一组。其中在这一组加的频率为 而这一组的频率为0.3，所以中位数为 （2）抽取有人，有人，抽取在范围内共有20人.则根据对立事件概率计算方法，在两个组都有人分布的概率【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，随机事件中对立事件概率的求法，属于基础题。20.如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面， ，分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）证明平面平面，并求出到平面的
16、距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据中位线定理，可证明，由面面平行的判定即可证明平面平面。（2）可证明平面，由，可证明平面平面.取中点，连接。将平面延伸，使得变为平面。根据线面垂直，可知作，即可求得长度，即为到平面的距离。【详解】（1）分别是线段的中点，所以，又为正方形，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.又 所以平面平面.（2）因为，所以平面，又，所以平面所以平面平面.取中点，连接，则，平面即为平面，在平面内，作，垂足为，则平面，即为到平面的距离， 在三角形中，为中点，.【点睛】本题考查了面面平行、面面垂直的证明，点到平面距离的求法，
17、属于中档题。21.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点。曲线与轴的交点为，与轴的交点为 由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为（2）设，由可得，进而可得，减少变量个数。因为，所以要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程。因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，代入，化简可求得，满足，故详解：（1）曲线与轴的
18、交点为，与轴的交点为 故可设的圆心为，则有，解得则圆的半径为，所以圆的方程为（2）设，其坐标满足方程组消去，得方程由已知可得，判别式，且， 由于，可得又，所以 由得，满足，故点睛：求圆的方程一般有两种方法： 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程； 几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径。（2）直线与圆或圆锥曲线交于，两点，若，应设，可得。可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代
19、入，化简求值。22.已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，化简整理，结合定义，即可得证。（2）由（1）可得，代入可得，分别讨论n为奇数和偶数时的表达式，结合单调性，便可求出m的取值范围。【详解】（1）证明：因为，所以即，则从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列（2）解：由（1）知，即所以当为偶数时，当为奇数时，当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；当为奇数时，是递增的，此时，则.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了数列构造法，等比数列的定义及求和。证明等比数列常用概念来证明，裂项相消法是求和中常用的办法，题中还涉及了分类讨论的思想，需分别求n为奇数和n偶数时的，再分别求解，整理答案，属难题。