1、第8讲函数与方程知 识 梳 理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得
2、到零点近似值的方法叫做二分法辨 析 感 悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，则函数f(x)有零点()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点()(5)(2012湖北卷改编)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为2.()(6)(2013广州模拟改编)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上
3、有零点，则实数a的取值范围是(2,0)()感悟提升1一点提醒函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，如(1)2三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在a，b上单调且f(a)f(b)0，则f(x)在a，b上只有一个零点.考点一函数零点的求解与判断【例1】 (1)(2013青岛一模)函数f(x)1xlog2x的零点所在区间是_；(1,2)；(2,3)(2)(2014郑州一模)函数f(x)的零点个数是_解析(1)f1log210，f1log210
4、，f(1)1010，f(2)12 log2210，由f(1)f(2)0知正确(2)当x0时，令g(x)ln x，h(x)x22x.画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x0时，f(x)有2个零点当x0时，由4x10，得x，综上函数f(x)的零点个数为3.答案(1)(2)3规律方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐
5、标有几个不同的值，就有几个不同的零点【训练1】 (1)(2014合肥模拟)函数f(x)log2x的一个零点落在区间_(0,1)；(1,2)；(2,3)；(3,4)(2)(2012北京卷改编)函数f(x)x的零点个数为_解析(1)f(1)10，故其中一个零点会落在(1,2)内(2)f(x)x的零点，即令f(x)0.根据此题可得x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y和指数函数yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个答案(1)(2)1考点二根据函数零点的存在情况， 求参数的值【例2】 已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取
6、值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)法一x0时g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点m的取值范围是2e，)法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.m的取值范围是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个
7、相异实根m的取值范围是(e22e1，)规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【训练2】 (2014鞍山模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_解析画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1.答案(0,1)考点三与二次函数有关的零点分布【例3】 是否存在这样
8、的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由审题路线由f(x)在1,3上只有一个零点f(x)0在1,3上有且只有一个实数根计算知0恒成立令f(1)f(3)0求出a的范围对端点值检验得出结论解令f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a8920，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在
9、1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，)规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得即m.故m的取值范围是.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组即0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x0)，g(x)1.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)只有1个零点.