1、第1讲导数的概念及运算知 识 梳 理1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)可表示为“当x0时，A”(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的切线的斜率2函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)3基本初等函
2、数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)辨 析 感 悟1对导数概念的理解(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义
3、相同()2对导数的几何和物理意义的理解(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t0.()(5)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()3导数运算问题(6)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22a2x.()(7)函数f(x)x2ln x的导函数为f(x)2x2.()(8)函数y的导数是y.()感悟提升1一个区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，若斜率存在时，切线
4、的斜率kf(x0)；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2三个防范一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y|x|在x0处就没有导数二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)考点一导数的运算【例1】 (1)求下列函数的导数：yx2sin x；y.(2)(2014济宁模拟)已知f(x)x(2 012ln x)，f(x0)2 013，则x0_.(1)解y(x2)sin xx2(
5、sin x)2xsin xx2cos x.y.(2)解析f(x)2 012ln xx2 013ln x，由f(x0)2 013，得ln x00，解得x01.答案1规律方法 (1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错【训练1】 (1)已知f(x)，则f(1)_.(2)已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析(1)f(x)，则f(1).(2)f(x)fsin xcos x，所以ff，解得f1，故ffcos sin 1.答案(1)(2)1考点二利用导数的几
6、何意义求曲线的切线 方程【例2】 已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程审题路线(1)求f(x)求f(2)求f(2)由点斜式写出切线方程(2)设切点P(x0，y0)求f(x0)由点斜式写出过点A的切线方程把点P代入切线方程求x0再代入求得切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，
7、又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程【训练2】 (1)(2014扬州期末)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为_ (2)曲线yx(3
8、ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析(1)f(x)3x22ax(a3)，又f(x)为偶函数，则a0，所以f(x)x33x，f(x)3x23，故f(0)3，故所求的切线方程为y3x.(2)函数的导数为f(x)3ln x1x3ln x4，所以在(1,1)的切线斜率为k4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案(1)y3x(2)y4x3考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】 (2013新课标全国卷改编)设函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.求a，b的值解f(x)aexex(axb)2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44
9、，又f(0)b4，a4.规律方法 已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】 (2013福建卷改编)设函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值解由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.1在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0
10、)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误易错辨析3求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是_ 错解 点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，直线l与曲线yf(x)相切于点O.则kf(0)2，直线l的方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x2a2x0满足44a0，a1.答案1错因 (1)片面理解“过点O
11、(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解 易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由，联立，得x0(x00舍)，所以k，所求切线l的方程为yx.由得x2xa0.依题意，4a0，a.综上，a1或a.答
12、案1或防范措施 (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P处的切线与在点P处的切线的差异(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算【自主体验】若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于_解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1.答案1或基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014深圳中学模拟)曲线yx3在原点处的切线方程为
13、_解析y3x2，ky|x00，曲线yx3在原点处的切线方程为y0.答案y02已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案e3(2014辽宁五校联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是_解析由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，点P0的坐标是(1,3)答案(1,3)4(2014烟台期末)设函数f(x)xsin xcos x的图象在点(t，f(t)处切线的斜率为k，则函数kg(t)的部分图象为_解析函数f(x)的导函数为f(x)(xsin x
14、cos x)xcos x，即kg(t)tcos t，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除，.当0t时，g(t)0，所以排除，选.答案5曲线y在点M处的切线的斜率为_解析y，故所求切线斜率k.答案6(2013广东卷)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析y2ax，y|x12a10，a.答案7已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_.解析由题意得f(x)2x3f(2)，f(2)223f(2)，f(2)2.答案28(2013江西卷)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析yx1，斜率ky|x12，2.答案2二、解答题9求下列函数的导数
15、：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y(1) .解(1)y(exln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(4)先化简，y1y.10(2014南通二模)f(x)ax，g(x)ln x，x0，aR是常数(1)求曲线yg(x)在点P(1，g(1)处的切线l.(2)是否存在常数a，使l也是曲线yf(x)的一条切线若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由解(1)由题意知，g(1)0，又g(x)，g(1)1，所以直线l的方程为yx1.(2)设yf(x)在xx
16、0处的切线为l，则有解得此时f(2)1，即当a时，l是曲线yf(x)在点Q(2,1)的切线能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014盐城一模)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是_解析设P(x0，y0)，倾斜角为，y2x2，则ktan 2x020,1，解得x0.答案2设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn(x)fn1(x)，nN*，则f2 013(x)_.解析f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，
17、由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 013(x)f1(x)cos x.答案cos x3(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值为_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 012，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 013(x1x2x2 012)1.答案1二、解答题4设函数f(x)ax，曲线
18、yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(x0)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.