1、第6讲椭圆知 识 梳 理1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0eb0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2辨 析 感 悟1
2、对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点P到两定点A(0，2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()2对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)(教材习题改编)椭圆1的离心率为.()3椭圆的方程(6)若椭圆1的焦点坐标是F1(，0)，F2(，0)，则k2.()(7)(2013广东卷改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是1.()感悟提升1一点提醒椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，如(1)、(2)2两个防范一是注意椭
3、圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当ab0时，方程1的焦点在x轴上；当ba0时，方程1的焦点在y轴上，如(7).考点一椭圆定义及标准方程【例1】 (1)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_(2)求过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程(1)解析由题意知，在PF1F2中，|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.答案4(2)解法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的
4、定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在
5、x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_解析设椭圆方程为1(ab0)，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.答案1考点二椭圆的几何性质【例2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关(1
6、)解法一设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0e1，e的取值范围是.法二如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于F1PF260，则只需满足60F1AF2即可，又F1AF2是等腰三角形，且|AF1|AF2|，所以0F1F2A60，所以cosF1F2A1，又ecosF1F2A，所以e的取值范围是.(2)证明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面积只与短轴长有关规律方法
7、(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式e；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【训练2】 (1)(2013四川卷改编)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭
8、圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_(2)(2012安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.且AF1B的面积为40，则a_，b_.解析(1)左焦点为F1(c,0)，PF1x轴，当xc时，1yb2yP(负值不合题意，已舍去)，点P，由斜率公式得kAB，kOP.ABOP，kABkOPbc.a2b2c22c2，e.(2)法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1A
9、Baca240，解得a10，b5.法二设|AB|t(t0)因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.答案(1)(2)105考点三直线与椭圆的位置关系【例3】 (2013陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点若A是PB的中点，求直线m的斜率审题路线(1)根据题意列出等式坐标化整理可得动点M的轨迹方程(2)设直线m的方程，
10、交点A，B的坐标由A是PB的中点得出A，B两点坐标间的关系又点A，B在点M的轨迹上联立方程组解得A或B点坐标根据斜率公式求k.解(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|.由此得|4x|2，化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中点，x1，y1.又1，1，联立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线m的斜率为或.规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的
11、设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形【训练3】 (2014山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程解(1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为yxc，其中c，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，x1，x2.所以|PQ|x2x1|a，化简，得a，故a22b2，所以椭圆的离心率e.(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，由(1
12、)知x0c，y0x0c.由|MP|MQ|，得kMN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆的方程为1.1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为1(m0，n0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中更简便3椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点位置，则标准方
13、程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式答题模板10直线与椭圆的综合问题【典例】 (13分)(2013天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值规范解答(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程1，解得yb，(2分)于是b ，解得b，(3分)又a2c2b2，从而可得a，c1，(4分)所以椭圆的方程为1.(5分)(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为y
14、k(x1)，(6分)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.(8分)因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交由求根公式可得x则x1x2，x1x2，(9分)因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.(12分)由已知得68，解得k.(13分)反思感悟 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与
15、系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题答题模板直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出第五步：根据题设条件求解问题中的结论【自主体验】已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解(1)由已知可设椭圆C2
16、的方程为1(a2)其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以xA.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2 ，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_解析由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a(F是椭圆
17、的另外一个焦点)，周长为4a4.答案42(2014广州模拟)椭圆1的离心率为，则k的值为_解析若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.答案或213(2014镇江模拟)已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于_解析将椭圆的方程转化为标准形式为1，显然m210m，即m6，且()2()222，解得m8.答案84(2014烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|
18、PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立解得a28，b26.答案15(2013辽宁卷改编)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为_解析如图，设|AF|x，则cosABF.解得x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，FAF1FABFBA90，FAF1是直角三角形，所以|F1F|10，故2a8614,2c10，.答案6(2014无锡模拟)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_解
19、析抛物线y28x的焦点为(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.答案17已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.b3.答案38(2013福建卷)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，
20、则该椭圆的离心率等于_解析因为直线y(xc)过椭圆左焦点，且斜率为，所以MF1F260，MF2F130，F1MF290，故|MF1|c，|MF2|c由点M在椭圆上知，cc2a.故离心率e1.答案1二、解答题9已知椭圆的两焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解(1)依题意得|F1F2|2，又2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x，y)，F2F1P120，PF1所在直线的方程为y(x1
21、)tan 120，即y(x1)解方程组并注意到x0，y0，可得SPF1F2|F1F2|.10(2014绍兴模拟)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点M在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求的取值范围解(1)2a4，a2，又M在椭圆上，1，解得b22，所求椭圆方程1.(2)由题意知kMO，kAB.设直线AB的方程为yxm，联立方程组消去y，得13x24mx2m240，(4m)2413(2m24)8(12m213m226)0，m226，设A(x1，y1)，B(x2，
22、y2)，由求根公式得x则x1x2，x1x2，则x1x2y1y27x1x2m(x1x2)m2.的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014潍坊模拟)已知椭圆：1(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_解析由题意知a2，所以|BF2|AF2|AB|4a8，因为|BF2|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当ABx轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得1，又c2a2b24b2，所以1，即11，所以，解得b23，所以b.答案2设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，
23、P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_解析令c.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF230，F1F2P120，PF2x60，|F2P|23a2c.|F1F2|2c，3a2c2c，3a4c，即椭圆的离心率为.答案3(2014陕西五校联考)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程
24、为1，所以c2，所以e.答案二、解答题4(2014河南省三市调研)已知圆G：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(ma)作倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围解(1)圆G：x2y22xy0经过点F，B，F(2,0)，B(0，)，c2，b，a2b2c26，椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的方程为y(xm)，m，由消去y，得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m2.m，m2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x则x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).F(x12，y1)F(x22，y2)，FF(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.点F在圆E内部，FF0，即0，解得0m3.又m2，m3.故m的取值范围是(，3).