1、黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、直线圆的位置关系，数列等；【题文】一、选择题【题文】1全集,集合，则（ ） A. B. C. D.【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B A=x，则=x故选B.
2、【思路点拨】先求出集合A再求。【题文】2已知复数满足(其中为虚数单位），则的虚部为 （ ） A. B . C. D. 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】C i4=1，i2014=（i4）503i2=-1z= =-i=-+i，其虚部为故选：C【思路点拨】利用i4=1，复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【题文】3已知等差数列，若，则 （ ）A. 24 B. 27 C . 15 D. 54 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】B 由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3，S9=9a5=27故选：B【思路点拨】利用等比数列的性质求解。【题文】4若，则
3、（ ） A. B. C . D.【知识点】二倍角公式C6【答案解析】C cos(2x-)=1-=故选C。【思路点拨】根据二倍角公式求解【题文】5若的解集为且函数的最大值为-1，则实数的值为 A. 2 B . C. 3 D. （ ）【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7【答案解析】B ：ax1的解集为x|x0，0a1，y= (x+)的最大值为-1，x+2，a-1=2，a=，故选：B【思路点拨】先确定0a1，再利用y= (x+)的最大值为-1，x+ 2，即可求出实数a的值【题文】6.若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示， 其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则 此多面体的表面积是
4、（ ）A. B. C. 15 D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】B 由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形在等腰三角形ABC中，CDAB，CD=4，AB=6，AC=BC= =5PC底面ABC，PCAC，PCBC，PCCDS表面积=254+64+64=32+12故答案为B【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形据此即可计算出答案【题文】7若函数的图像在点处的切线方程为，则函数的图像在点处的切线方程为 （ ）A . B . C . D
5、. 【知识点】导数的应用B12【答案解析】A 由函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x-2，得f（1）=3，f（1）=1又函数g（x）=x2+f（x），g（x）=2x+f（x），则g（1）=21+f（1）=2+3=5g（1）=12+f（1）=1+1=2函数g（x）=x2+f（x）的图象在点（1，g（1）处的切线方程为y-2=5（x-1）即5x-y-3=0故答案为：A【思路点拨】由函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x-2，可得f（1）=3，f（1）=1，求出函数g（x）的导函数，再求出g（1）和g（1），则由直线方程的点斜式可求函数g（x）=x2
6、+f（x）的图象在点（1，g（1） 处的切线方程【题文】8已知函数为偶函数，则的一个取值为（ ） A. 0 B. C . D. 【知识点】函数的图象与性质C4【答案解析】B f（x）=sin（x+）+cos（x+）= sin（x+）函数f（x）为偶函数，+=+k（kZ）=+k（kZ）当k=0时，=故选B【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据函数f（x）为偶函数，结合诱导公式得+=+k（kZ），进而求出的值【题文】9设（e是自然对数的底数），则 （ ） A. B . C . D. 【知识点】指数对数B6 B7【答案解析】D x=log510=log55+log521+ =1+=z，y
7、= = = z，xzy，故选：D【思路点拨】分别利用对数函数的单调性和指数函数的单调性比较大小即可【题文】10定义在R上的函数是增函数，且对任意的恒有，若实数 满足不等式组，则的范围为 （ ）A. B . C . D. 【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】C f（x）=-f（2-x），-f（x）=f（2-x），f（a2-6a+23）+f（b2-8b）0可化为f（a2-6a+23）-f（b2-8b）=f（2-b2+8b），又f（x）在R上单调递增，a2-6a+232-b2+8b，即a2-6a+23+b2-8b-20，配方可得（a-3）2+（b-4）24，原不等式组可化为，如图，点（a，b
8、）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界），易知a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，由图易知：|OA|2a2+b2|OB|2，可得点A（3，2），B（3，6）|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45，13m2+n245，即m2+n2的取值范围为13，45故选：C【思路点拨】由函数的性质可化原不等式组为，a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，数相结合可得答案【题文】11三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且, 平 面平面，则三棱锥的体积的最大值为 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【知识点】棱柱与棱锥G7【答案解析】
9、B 根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON=1平面PAB平面ABC，三棱锥P-ABC的体积的最大值时，PNAB，PN平面ABC，PB=，三棱锥P-ABC的体积的最大值为（2）2=3，故选：B【思路点拨】运用题意判断出三棱锥P-ABC的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值【题文】12在中，是的内心，若,其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 （ ） A. B . C . D. 【知识点】单元综合F4【答案解析】B 根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为BOC面积的2倍在
10、ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入数据，解得BC=7，设ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA=(a+b+c)r，解得r=，所以SBOC=BCr=7=，故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC=故答案为B.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为BOC面积的2倍 第II卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题【题文】13已知两点，向量，若，则实数k的值为 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】 两点A（-1，0），B（1，3），向量=（2k-1，2），=（2，3），3（2k-1）=4，
11、解得：k=故答案为：【思路点拨】求出AB向量，然后利用向量的平行，求出k的值即可【题文】14已知等差数列的前项和是, 用由此可类比得到各项均为正的等比数列的前项积 （表示）【知识点】等比数列等差数列D2 D3【答案解析】 在等差数列an的前n项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列bn的前n项积Tn= 故答案为：【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积【题文】15若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】-3，1 由题意可得，
12、圆心到直线的距离小于或等于半径，化简得|a+1|2，故有-2a+12，求得-3a1，故答案为：-3，1【思路点拨】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即 ，解绝对值不等式求得实数a取值范围【题文】16已知函数，给出如命题：是偶函数；在上单调递减，在上单调递增；函数在上有3个零点；当时，恒成立；其中正确的命题序号是 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】 对于，显然定义域为R，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）所以函数为偶函数，所以为真命题；对于，f（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x0，时，f（x）0，此时函数为增
13、函数，故为假命题；对于，令f（x）=0，所以=-tanx，做出y=及y=-tanx在-，上的图象可知，它们在-，上只有两个交点，所以原函数在-，有两个零点，故为假命题；对于，要使当x0时，f（x）x2+1恒成立，只需当x0时，f（x）-x2-10恒成立，即y=xsinx+cosx-x2-10恒成立，而y=xcosx-2x=（cosx-2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在0，+）上递减，因此x=0时ymax=0+cos0-1=0，故当x0时，f（x）x2+1恒成立，故为真命题故答案为【思路点拨】利用偶函数的定义判断；利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；研究极值、端点处的函数
14、值的符号；转化为f（x）-（x2+1）0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可【题文】三、解答题【题文】17已知集合函数的定义域为集合B.(1) 若a=1,求集合；(2) 已知a-1,且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围。【知识点】集合及其运算A1【答案解析】（1）x|1x2或3x5（2）a1+（1）若a=1，则A=x|（x-1）（x-5）0=x|1x5，函数y=lg =lg，由0，解得2x3，即B=（2，3），则RB=x|x2或x3，则ARB=x|1x2或3x5，（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，若a-1，则2a+31，即A=x|（x-1）（x-2
15、a-3）0=x|1x2a+3由0得（x-2a）x-（a2+2）0，a2+2-2a=（a-1）2+10，a2+22a（x-2a）x-（a2+2）0的解为2axa2+2，即B=x|2axa2+2若xA”是“xB”的必要不充分条件则BA，即且等号不能同时取，即，则，即a1+【思路点拨】（1）求解集合AB根据集合的基本运算即可得到结论（2）求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论【题文】18数列的前项和为，若（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）an=（-3）n-1（2）-(+)(-3)n（1）an+1=-4Sn+1，
16、a1=1，Sn=，an=Sn-Sn-1=-=，4an=an-an+1，an+1=-3an，=-3，a1=1，an=（-3）n-1（2）bn=nan=n（-3）n-1，Tn=1（-3）0+2（-3）+3（-3）2+n（-3）n-1，-3Tn=1（-3）+2（-3）2+3（-3）3+n（-3）n，-，得：4Tn=（-3）0+（-3）+（-3）2+（-3）n-1-n（-3）n=-n（-3）n=-(+n)(-3)n，Tn=-(+)(-3)n【思路点拨】（1）由已知条件得Sn= ，从而得到an=Sn-Sn-1=，所以=-3，再由a1=1，能求出an=（-3）n-1（2）由bn=nan=n（-3）n-1，
17、利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Tn【题文】19已知分别是三角形的三个内角A，B，C的对边， .（1）求角A的大小; （2）求函数的值域.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）（2）（1，2（1）由题意得（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=A是三角形的内角，所以A=（2）因为函数y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin（B+），而B+，所以函数y=2sin（B+）的值域（1，2【思路点拨】（1）通过向量的平行，利用共线，通过正弦
18、定理以及两角和的正弦函数化简，求出A的余弦值，然后求角A的大小；（2）通过函数y=sinB+sin(C-)，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三角函数的形式，结合B的范围，直接求解函数的值域【题文】20已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线与圆C相切.（1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C交于不同的两点，且时，求三角形的面积.【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】（I）（x-2）2+y2=4（II）（I）设圆心为C（a，0），（a0），则圆C的方程为（x-a）2+y2=4因为圆C与3x-4y+4=0相切，所以=2，解得：a=2或a=-（舍），所以圆C的方程为：
19、（x-2）2+y2=4 （II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，由得（1+k2）x2-（4+6k）x+9=0，l与圆C相交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），=（4+6k2）-4（1+k2）90，且x1+x2=，x1x2=，y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1x2)+9=-+9，又x1x2+y1y2=3，+-+9=3，整理得：k2+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）直线l的方程为：y=x-3圆心C到l的距离d=，在ABC中，|AB|=2=14，原点O到直线l的距离，即AOB底边AB边上的高h=，SAOB=|AB|h=【思路点拨】（I）设圆心为C
20、（a，0），（a0），可得圆C的方程的方程再根据圆心到直线的距离等于半径求得a的值，可得圆C的方程（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系求得x1+x2=，x1x2=，再由x1x2+y1y2=3，求得k的值，可得直线l的方程求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，再由SAOB=|AB|h，计算求得结果【题文】21.在四棱锥中，平面平面,在锐角中,并且 ,（1）点是上的一点，证明：平面平面； （2）若与平面成角，当面面时，求点到平面的距离.【知识点】空间向量及运算G9【答案解析】（1）略（2）法一（1）BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得B
21、DAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD面ABCD，BD平面PADBD面MBD，平面MBD平面PAD（2）如图，BD平面PAD，平面PBD平面PAD，APD=60，做PFAD于F，PF面ABCD，PF=2，设面PFC面MBD=MN，面MBD平面ABCD面PF面MBD，PFMN，取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点，MN=PF=法二（1）同一（2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA，DB为x，y轴建立空间直角坐标系，设平面PBD法向量为=(x，y，z)，设P（2，0，a），锐角PADa2，由=0，=0，解得=(
22、-a，0，2)，=(2，0，-a)，|cos，|=，解得a=2或a=2（舍）设=，解得M(2-4，4，2-2)面MBD平面ABCD，ADBD，面MBD法向量为=(0，0，4)，=0，解得=，M到平面ABD的距离为竖坐标 【思路点拨】法一：（1）通过证明平面MBD内的直线BD，垂直平面PAD内的两条相交直线，证明直线与平面垂直然后证明两个平面垂直（2）PA与平面PBD成角60，面MBD平面ABCD时，做PFAD于F，PFMN，然后求点M到平面ABCD的距离法二：（1）同法一；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可【题文】22.已知函数，. （1）如果函数在上是
23、单调减函数，求的取值范围；（2） 是否存在实数，使得方程在区间内有且只 有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用B12【答案解析（1）a-2（2）（1，）（1）当a=0时，f（x）=2x在1，+）上是单调增函数，不符合题意；当a0时，y=f（x）的对称轴方程为x=- ，y=f（x）在1，+）上是单调增函数，不符合题意；当a0时，函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，则- 1，解得a-2，综上，a的取值范围是a-2；（2）把方程=f（x）-（2a+1）整理为=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，设H（x）=ax2
24、+（1-2a）x-lnx（x0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点H（x）=2ax+（1-2a）-=，令H（x）=0，因为a0，解得x=1或x=-（舍），当x（0，1）时，H（x）0，H（x）是减函数；当x（1，+）时，H（x）0，H（x）是增函数H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需，即0a， 所以a的取值范围是（1，）【思路点拨】（1）函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，则1，+）为函数f（x）的减区间的子集，分a=0，a0，a0三种情况讨论即可；（2）把方程=f（x）-（2a+1）整理为=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点利用导数判断出函数H（x）的单调性、最小值，求出区间端点处的函数值，借助图象可得不等式组，解出即可；
