1、突破练(四)1已知函数f(x)2cos2xsin 2x，xR.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在0，上的值域解(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x，f(x)2sin (2x)1.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f(x)2sin (2x)1h(x)2sin 1，x0，x，sin (x)，1g(x)在0，上的值域为0,32某出租车公司为了解本公司
2、出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目数0,8)8910女213128男337169(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率解(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A，P(A)10.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A、B、C、D、E，其中A、B为女司机，任选出2人包含AB、AC、AD、AE、BC
3、、BD、BE、CD、CE、DE，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE，共7种记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M，则P(M)0.7.3已知四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，PC2，且底面ABCD是边长为1的正方形E是最短的侧棱PC上的动点(1)求证：P、A、B、C、D五点在同一个球面上，并求该球的体积；(2)如果点F在线段BD上，DF3BF，且EF平面PAB，求的值 (1)证明设PA的中点为M，连接AC，CM，则PAC为直角三角形，CMPMAM.设正方形ABCD的中心为点O，连接OM，则OMPC，OM1，PC底面ABCD，OM底面
4、ABCD，又O为BD的中点，连接BM，DM，则BMDM，CMPMAMBMDM，故点P、A、B、C、D在以M为球心，半径为的球上，且V球M()3.(2)解连接CF并延长交AB于K，连接PK.EF平面PAB，EF平面PCK，平面PCK平面PABPK，EFPK，DF3BF，又ABCD，CF3KF.EFPK，CE3PE，.4已知数列an的前n项和Snann21，数列bn满足3nbn1(n1)an1nan，且b13.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列bn的前n项和，求Tn.解(1)当n2时，Snann21，Sn1an1(n1)21，两式相减，得ananan12n1，an12n1，an2n1，3nbn
5、1(n1)(2n3)n(2n1)4n3，bn1.当n2时，bn，又b13适合上式，bn.(2)由(1)知，bn，Tn，Tn，得Tn3345，Tn.5已知点M(1,0)，N(1,0)，动点P(x，y)满足：|PM|PN|2.(1)求P的轨迹C的方程；(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C上存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程解(1)由|PM|PN|2知道曲线C是以M，N为焦点的椭圆，且a，c1，b，所以曲线C的方程为1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：xmy1，代入椭圆方程整理得(
6、2m23)y24my40，显然0，则假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为，则点Q的坐标为(x1x2，y1y2)由点Q在椭圆上，即1.整理得2x3y2x3y4xx216y1y26.又A、B在椭圆上，即2x3y6,2x3y6.故2x1x23y1y23，所以x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，将代入上式解得m.即直线l的方程是：xy1，即2xy20.6已知f(x)exax1(e为自然对数)(1)当a1时，求过点(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)exx1，f(1)e，f(x)ex1，f(1)e1，函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)x1，设切线与x、y轴的交点分别为A，B，令x0，得y1；令y0，得x.A(，0)，B(0，1)SOAB1.(2)由f(x)x2得a，令h(x)x，则h(x)1，令k(x)x1ex，k(x)1ex，x(0,1)，k(x)1ex0，k(x)在x(0,1)为减函数，k(x)k(0)0，又x10，x20，h(x)0，h(x)在x(0,1)为增函数，h(x)h(1)2e，因此只需a2e.
