1、专题一第四讲一、选择题1(文)函数f(x)log2x的一个零点落在区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案B解析f(1)f(2)0，选B.(理)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为()A(1.4,2)B(1.1,4)C(1，)D(，2)答案D解析令f(x)x32x1，则f(1)20，f()0，选D.2若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A.B.C.D.答案C解析令f(x)xx，f(1)10，f0，f0，f(x)在区间内有零点3利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元
2、)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y30x4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A240B200C180D160答案B解析依题意得每吨的成本是30，则23010，当且仅当，即x200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B.4(2014山东理，8)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1,2)D(2，)答案B解析作出函数yf(x)的图象如图，当ykx在l1位置时，过A(2,1)，k，在l2位置时与l3平行，k1，k0，则a的取值范围为()A(2，)B(1，)C(，2)
3、D(，1)答案C解析f (x)3ax26x3x(ax2)，若a0，则f(x)在(，0)和(，)上单调递增，在(0，)上单调递减，又f(0)1，f(x)不可能存在唯一零点；由选项知a0不必考虑；a0，应有极小值f()0，即a()33()210，a1，即此时，ycosx与yx的图象必无交点；当x时，ycosx1.yx1，即此时ycosx与yx的图象必无交点，结合图象可知，它们的图象只有唯一公共点(，0)，即方程cosxx有唯一解x，因此方程f(x)所有的实根和等于，故选C.二、填空题8(2013济宁模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x(0，)时，f(x)sin
4、x，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是_答案7解析易知在(，)内，有f(1)0，f(0)0，f(1)0，即f(x)在一个周期内有3个零点，又区间0,6包含f(x)的2个周期，而两端点都是f(x)的零点，故f(x)在0,6内有7个零点9已知函数f(x)()xlog3x，若x0是函数yf(x)的零点，且0x1”、“解析解法1：f(x)()xlog3x在(0，)上为减函数，且0x1f(x0)解法2：如图知，f(x1)f(x0)10设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)若x0所在的区间是(n，n1)(nZ)，则n_.答案1解析由函数图象知，1x00时，yf(x)与ylog3x的图象
5、有2个交点，又ylog3|x|为偶函数，两函数图象交点有4个(理)(2014银川市一中二模)现有四个函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()ABCD答案A解析yxsinx为偶函数，对应第一个图；yxcosx为奇函数，且x0时，y可正可负，对应第三个图；yx|cosx|为奇函数，且x0时，y0，对应第四个图；yx2x为增函数，对应第二个图，故选A.12(2014百校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x1)为奇函数，f(0)0，当x(0,1时，f(x)log2x，则在(8,10)内满足方程f(
6、x)1f(1)的实数x为()A.B9C.D.答案C解析由条件知f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，在式中给x赋值x1得f(x)f(x2)，将代入得f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)的周期为4.在中令x0得f(1)0，方程f(x)1f(1)，化为f(x)1，由于f(x)的图象关于点(1,0)对称，当0x1时，f(x)log2x0，当1x0，令f(x)1，(0xBaCa0时，f(x)没有零点当x0时，f (x)x24，令f (x)0得x2，所以f(x)在(0,2)上递减，在(2，)上递增，因此f(x)在x2处取得极小值f(2)a0，解得a.故选A.14(2013天津南开中学月考)
7、已知定义域为(1,1的函数f(x)，对任意x(1,0，f(x1)，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是()A0，)B，)C0，)D(0，答案D解析x(1,0时，x1(0,1，又x0,1时，f(x)x，f(x1)x1，又f(x1)，x(1,0时，f(x)1，作出函数f(x)的图象，由于ym(x1)过定点(1,0)，要使ym(x1)与yf(x)的图象有两个交点，应有0m，选D.15(文)(2013黄浦区模拟)如果函数y|x|2的图象与曲线C：x2y24恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是()A1,1)B1,0C(，10,1)D1,
8、0(1，)答案A解析y与圆x2y24有三个不同公共点，当01时，不满足；当0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线斜率k，由题意应有1，10，综上知11.(理)(2013绍兴市模拟)已知函数f(x)若方程f(x)t(tR)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围为()A(30,34)B(30,36)C(32,34)D(32,36)答案C解析设四个实数根满足x1x2x3x4，则易知0t0，()当ya(x1)与yx23x相切时，a1，此时f(x)a|x1|0恰有3个互异的实数根()当直线ya(x1)与函数yx23x相切时，a9，此时f(x)a|x1|0恰有2个互异
9、的实数根结合图象可知0a9.解法二：显然x1，所以a|，令tx1，则a|t5|.因为t(，4)4，)，所以t5(，19，)令t5得t1或4，结合图象可得0a9.17(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(x)f(x)，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为_答案解析函数图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的三个实根之和为.(理)(2013南开中学月考)已知f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3,3b2，则n等于_答案1解析2a3,3b2，alog23，blog32，f(1)a
10、11blog321log3210，f(x)在(1,0)内存在零点，又f(x)为增函数，f(x)在(1,0)内只有一个零点，n1.三、解答题18(文)(2013保定市一模)设函数f(x)x3x2axa，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)0在(0,2)内恰有两个实数根，求a的取值范围；(3)当a1时，设函数f(x)在t，t3(t(3，2)上的最大值为H(t)，最小值为h(t)，记g(t)H(t)h(t)，求函数g(t)的最小值解析(1)f (x)x2(a1)xa(xa)(x1)，令f (x)0得，x11，x2a0，f(1)0，解得0a，所以a的取值范围是(0，)(3)当
11、a1时，f(x)x3x1，由(1)知f(x)在(3，1)上单调递增，(1,1)上单调递减所以，当t3，2时，t30,1，1t，t3，所以f(x)在t，1上单调递增，1，t3上单调递减，因此，f(x)在t，t3上的最大值H(t)f(1)，而最小值h(t)为f(t)与f(t3)中的较小者f(t3)f(t)3(t1)(t2)，当t3，2时，f(t)f(t3)，故h(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)，而f(t)在3，2上单调递增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值为g(2).即函数g(x)在区间3，2上的最小值为.(理)(2013海淀期中)已知函数f(x)lnxax2bx(
12、其中a、b为常数且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解析(1)因为f(x)lnxax2bx，所以f (x)2axb.因为函数f(x)lnxax2bx在x1处取得极值，f (1)12ab0.当a1时，b3，f (x)，f (x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为(0，)和(1，)，单调递减区间为(，1)(2)因为f (x)，令f (x)0得，x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，x20，当1时，f(x)在(0，)上单调递增，(，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x或xe处取得，而f()lna()2(2a1)ln10，所以f(e)lneae2(2a1)e1，解得a；当1e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1，)上单调递减，(，e)上单调递增，所以最大值1可能在x1或xe处取得，而f(1)ln1a(2a1)0，所以f(e)lneae2(2a1)e1，解得a，与1x2e矛盾；当x2e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x1处取得，而f(1)ln1a(2a1)0，矛盾综上所述，a或a2.
