1、第八章立体几何初步第4课时平面与平面的位置关系考情分析考点新知了解平面与平面的位置关系，在判定和证明平面与平面位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义，注意线线关系，线面关系以及面面关系的转化理解面面垂直、面面平行的判定定理和性质定理，进一步掌握线线、线面、面面平行及垂直的相互转化.1. (必修2P50习题1改编)设a、b为不重合的两条直线，、为不重合的两个平面，给出下列命题： 若a且b，则ab； 若a且b，则ab； 若a且a，则； 若a且a，则.其中为真命题的是_(填序号)答案：解析：错，a，b，直线a与b可能相交、平行或异面；错，若l，al，a，a，则a，a.2.
2、(必修2P49练习4改编)如果平面平面，直线l平面，则直线l与平面的位置关系是_答案：直线l与平面平行或直线l在平面内解析：不要忽略直线l在平面内的情况3. (必修2P48习题12改编)已知直线a和两个不同的平面、，且a，a，则、的位置关系是_答案：垂直解析：运用两平面垂直的判定方法4. (必修2P51习题16改编)已知、是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把、中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是_答案：2解析：若、换为直线a、b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若、换为直线a、b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若、换为直
3、线a、b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题，故真命题共2个5. (必修2P49练习4改编)a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合平面，现给出六个命题： ab； ab； ； ； a； a.其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：错在a、b可能相交或异面错在与可能相交、错在a可能在内1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行2. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行3. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们
4、就说这两个平面互相垂直4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面备课札记题型1两平面的平行例1(2013江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、SC的中点求证：(1) 平面EFG平面ABC；(2) BCSA.证明：(1) ASAB，AFSB， F是SB的中点 E、F分别是SA、SB的中点， EFAB. EF平面ABC，AB平面ABC， EF平面ABC.同理FG平面ABC. EFFGF
5、，EF、FG平面ABC， 平面EFG平面ABC.(2) 平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB， AF平面SBC. BC平面SBC， AFBC. ABBC，ABAFA，AB、AF平面SAB， BC平面SAB. SA平面SAB， BCSA.如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行证明： O、M分别是AC、PA的中点，连结OM，则OMPC. OM平面PCD，PC平面PCD， OM平面PCD.同理，知ONCD. ON平面PCD，CD平面PCD， ON平
6、面PCD.又OMONO， OM、ON确定一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN与平面PCD平行，即过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：平面B1AC平面DC1A1.证明：因为ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，所以A1C1AC.又A1C1平面B1AC，AC平面B1AC，所以A1C1平面B1AC.同理，A1D平面B1AC. 因为 A1C1、A1D平面DC1A1，A1C1A1DA1，所以平面B1AC平面DC1A1. 题型2两平面的垂直关系例2如图，三棱锥A-BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，
7、E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1) 求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2) 当为何值时，平面BEF平面ACD.(1) 证明： AB平面BCD， ABCD. CDBC，且ABBCB， CD平面ABC. (01)， 不论为何值，恒有EFCD. EF平面ABC，EF平面BEF. 不论为何值恒有平面BEF平面ABC.(2) 解：由(1)知，BEEF， 平面BEF平面ACD， BE平面ACD. BEAC. BCCD1，BCD90，ADB60， BD，ABtan60. AC.由AB2AEAC，得AE. .故当时，平面BEF平面ACD.(2013江宁高中期中)如图，直三棱柱ABCA
8、1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1) 求证： C1E平面ADF；(2) 设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF?(1) 证明：连结CE交AD于O，连结OF.因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，.从而OF/C1E.OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2) 解： 当BM1时，平面CAM平面ADF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，由于B1B平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC.由于ABAC，D是BC中点，所以ADBC.又平面B1BCC1平面ABCB
9、C, 所以AD平面B1BCC1.而CM平面B1BCC1，于是ADCM.因为BM CD1，BC CF2，所以RtCBMRtFCD，所以CMDF. DF与AD相交，所以CM平面ADF.CM平面CAM，所以平面CAM平面ADF.当BM1时，平面CAM平面ADF.题型3平行与垂直的综合问题例3如图，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点求证：(1) 直线FM平面A1EB；(2) 平面A1FC平面A1BC.证明：(1) 取A1B中点N，连结NE、NM，则MN=BC，EF=BC，所以MN=FE，所以四边形MNEF为
10、平行四边形，所以FMEN，因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直线FM平面A1EB.(2) 因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A1FFC，所以FMA1C.同理，ENA1B.由(1)知，FMEN，所以FMA1B.因为A1CA1BA1，所以FM平面A1BC.因为FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC.如图，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C的中点求证：(1) 直线FM平面A1EB；(2) 平面A1FC平面A1BC. 证明：(1) 取A1B中点N，连结NE、NM，则MN=BC，EF=BC，
11、所以MN=FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FMEN.又FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直线FM平面A1EB.(2) 因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A1FFC，所以FMA1C.同理，ENA1B.由(1)知FMEN，所以FMA1B.又A1CA1BA1，所以FM平面A1BC.因为FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，G、H分别为DC、BC的中点(1) 求证：平面FGH平面BDE；(2) 求证：平面ACF平面BDE
12、.学生错解： 证明：(1) 如图，设AC与BD交于点O，连结OE、OH.由已知EFAB，得EFAB. OH=AB， EF=OH， 四边形OEFH为平行四边形， FHEO. G、H分别为DC、BC的中点， GHDB. 平面FGH平面BDE.(2) 由四边形ABCD为正方形，有ABBC.又EFAB， EFBC，而EFFB， EF平面BFC. FH平面BFC， EFFH. ABFH.又BFFC，H为BC的中点， FHBC， FH平面ABCD. FHAC.又FHEO， ACEO.又ACBD， AC平面BDE.又AC平面ACF， 平面ACF平面BDE.审题引导： (1) 探索求解过程的关键是弄清线线平行
13、线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直；不要跳步造成错误，如本例(1)，易出现由线线平行直接推得面面平行，从而导致证明过程错误(2) 正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理，特别注意将条件写完整，不可遗漏，如本例(2)在证明线、面垂直时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成导致证明过程不严谨规范解答： 证明： (1) 如图，设AC与BD交于点O，连结OE、OH，由已知EFAB，得EFAB.(2分) OH=AB， EF=OH， 四边形OEFH为平行四边形， FHEO.(4分) FH平面BDE，EO平面BDE， FH平面BDE. G、H分别为DC、BC的中点，
14、GHDB. GH平面BDE，DB平面BDE， GH平面BDE.又 FHGHH， 平面FGH平面BDE.(6分)(2) 由四边形ABCD为正方形，有ABBC.又EFAB， EFBC，(8分)而EFFB，BCFBB， EF平面BFC.FH平面BFC， EFFH.(10分) ABFH，又BFFC，H为BC的中点， FHBC，ABBCB， FH平面ABCD. FHAC，又FHEO， ACEO.(12分)又ACBD，EOBDO， AC平面BDE.又AC平面ACF，平面ACF平面BDE.(14分)错因分析：证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理，并将相应的条件写全本题(1)直接
15、由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，导致证明过程不严谨(2)在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；导致证题过程不正确1. (2013常州调研)给出下列命题： 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，真命题是_(填序号)答案：解析：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故正确；如果一个平面内的两条相交直线与另
16、一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故正确因此真命题是.2. 下列命题错误的是_(填序号) 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面； 如果平面平面，平面平面，l，那么l平面； 如果平面平面，那
17、么平面内所有直线都垂直于平面.答案：3. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DMPC(或BMPC等)解析：由已知条件可知，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC属于平面PCD， 平面MBD平面PCD.4. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点如图，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点求证：(1) AEBD；(2) 平面PEF平面AECD
18、.图图证明：(1) 取AE中点M，连结BM、DM、DE. 在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点， ABE与ADE都是等边三角形， BMAE，DMAE. BMDMM，BM，DM平面BDM， AE平面BDM. BD平面BDM， AEBD.(2) 连结CM交EF于点N，连结PN. MEFC，且MEFC， 四边形MECF是平行四边形， N是线段CM的中点 P是线段BC的中点， PNBM. BM平面AECD， PN平面AECD. PN平面PEF， 平面PEF平面AECD.5. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱
19、AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由解：存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下： ABCD，AB2CD， AF綊CD， 四边形AFCD是平行四边形 ADCF.又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1， CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1， CC1平面ADD1A1.又CC1、CF平面C1CF，CC1CFC， 平面C1CF平面ADD1A1.1. 在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形(1) 求证
20、：平面ADC1平面BCC1B1；(2) 求该多面体的体积(1) 证明：由正三棱柱ABCA1B1C1，得BB1AD.而四边形ABDC是菱形，所以ADBC.又BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，且BCBB1B，所以AD平面BCC1B1.又由AD平面ADC1，得平面ADC1平面BCC1B1.(2) 解：因为正三棱柱ABCA1B1C1的体积为V1SABCAA12，四棱锥DB1C1CB的体积为V2S平面BCC1B1，所以该多面体的体积为V.2. 如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直EFBD，ABEF.求证：(1) BF平面ACE；(2) BFBD.证明： (1) AC与BD交于
21、O点，连结EO.正方形ABCD中，BOAB，又因为ABEF， BOEF，又因为EFBD， EFBO是平行四边形 BFEO，又 BF平面ACE，EO平面ACE， BF平面ACE.(2) 正方形ABCD中，ACBD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD平面ABCD，平面ABCD平面ACEAC， BD平面ACE， EO平面ACE BDEO， EOBF， BFBD.3. 如图，在正三棱柱ABCDEF中，AB2，AD1.P是CF的延长线上一点，FPt.过A、B、P三点的平面交FD于M，交FE于N.(1) 求证：MN平面CDE；(2) 当平面PAB平面CDE时，求t的值(1) 证明：
22、因为ABDE，AB在平面FDE外，所以AB平面FDE.又MN是平面PAB与平面FDE的交线，所以ABMN，故MNDE.因为MN平面CDE，DE平面CDE，所以MN平面CDE.(2) 解：取AB中点G、DE中点H，连结GH，则由GHPC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PAPB知PGAB.而与(1)同理可证AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，因此，PG也垂直于该交线又平面PAB平面CDE，所以PG平面CDE，所以PGCH，于是CGHPCG，所以，即，解得t2.4. (2013徐州三模)如图，AB、CD均为圆O的直径，CE圆O所在的平面，BFCE.求证：(1) 平面BCEF平面ACE；(2)
23、 直线DF平面ACE.证明： (1) 因为CE圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以CEBC.因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以ACBC，因为ACCEC，AC，CE平面ACE，所以BC平面ACE，因为BC平面BCEF，所以平面BCEF平面ACE.(2) 由(1)ACBC，又因为CD为圆O的直径，所以BDBC，因为AC、BC、BD在同一平面内，所以ACBD，因为BD平面ACE，AC平面ACE，所以BD平面ACE.因为BFCE，同理可证BF平面ACE，因为BDBFB，BD、BF平面BDF，所以平面BDF平面ACE，因为DF平面BDF，所以DF平面ACE.1. 判断或证明面面平行的常用方法：(1) 利用两个平面平行的定义；(2) 利用两个平面平行的判定定理(a，b，abA，a，b)2. 判定面面垂直的方法：(1) 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；(2) 利用平面与平面垂直的判定定理(l，l)3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用：(1) 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；(2) 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的
