1、质量检测(七)测试内容：排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为()A70户B17户 C56户D25户解析：总体容量为12528095500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为28056户故选C.答案：C2(2013年青岛质检)6的展开式中x2的系数为()A240B240 C6
2、0D60解析：由二项式定理通项公式，得Tr1C(1)r26rx62r，所以r2，系数为C24(1)2240.答案：B3(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B. C. D.解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有CC9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为，选A.答案：A4(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下
3、雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为()A0.35B0.25 C0.20D0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P0.25.故选B.答案：B5(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值
4、为，众数为m0，则()Amem0Bmem0Cmem0Dm0me解析：依图形可知，me，m05，所以m0me0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A200B300 C400D600解析：由N(90，a2)，得正态曲线关于直线x90对称，所以P(110)P(70)1P(700)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为()A. B.C. D.解析：由解得故由几何概型得，点M取自E内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中
5、的横线上)13(2012年武汉调研)已知n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是_解析：由题意，2n256，解得n8.故n即8展开式中第7项为C269(1)6C 252 ，故展开式中第7项的系数是252.答案：25214某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)若规定长度在97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是_解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1(0.027 540.045 02)0.880%.答案：80%15(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的
6、点到正方体中心的距离大于1的概率为_解析：该题属于几何概型根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R1的实心球，如图所示，其体积V球R3，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为VV正方体V球8，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P(d1)1.答案：116面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：，71，79，iyi1 481，1.818 2，71(1.818 2)77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下
7、降_元解析：依据题意可得回归直线方程为1.818 2x7736，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，1822题，每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：技工个数组别 1号2号3号4号5号甲组457910乙组56789(1)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1
8、名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率解：(1)依题中的数据可得甲(457910)7，乙(56789)7，s(47)2(57)2(77)2(97)2(107)25.2，s(57)2(67)2(77)2(87)2(97)22.因为甲乙，ss，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大(2)设事件A表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(
9、7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种事件A包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种所以P(A).18下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间70,80)内的图形，根
10、据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在80,90)内的学生中有的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在70,80)内的频率为f41(0.0120.0150.0200.005)100.4.频率分布直方图如右图(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.020.040.010.005)100.75，所以抽样学生成绩的及格率是7
11、5%.45f155f265f375f485f595f6450.1550.15650.2750.4850.19500569.所以估计这次考试的平均分是69分(3)因为成绩在80,90)内的人数0.0110606，所以成绩在80,85)和85,90)内的人数分别为4人和2人假设80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；85,90)段的学生编号为5,6.记第一次抽到的学生编号为x，第二次抽到的学生编号为y，用数对(x，y)表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6
12、)，(5,6)，其基本事件总数n15.解法一：记恰有1人成绩在85,90)内的事件为A.事件A包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A包含的基本事件数m8.故所求概率为P(A)，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是.解法二：记恰有1人成绩在85,90)内的事件为A，则事件包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件包含的基本事件数m7，所以P(A)1P()1，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是.19(2012年石家庄质检)某工科院校对A，
13、B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：专业A专业B总计女生12416男生384684总计5050100(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？(2)从专业A中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望注：2P(2k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024解：(1)根据列联表中的数据24.762，由于4.7623.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系(2)专业A中女生12人，男生38人，P(X0)，P(X1
14、)，P(X2).所以X的分布列为X012P所以E(X)12.20(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望解：(1)甲170，乙170，s53，s37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些(2)X0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3
15、).所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.21“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，
16、求的分布列与数学期望解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABCAC.因为ABC与AC为互斥事件，且A，B，C为彼此独立，所以P(ABCAC)P(ABC)P(AC)P(A)P(B)P(C)P(A)P()P(C).(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3.因为P(0)P( )，P(1)P(A B C)，P(2)P(AB A CBC)，P(3)P(ABC)，所以随机变量的分布列为0123P所以E()0123.22某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种
17、型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C种选法选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C种，所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为P1.(2)X的所有可能的取值为0，m,2m,3m.X0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，所以P(X0)C03，同理可得P(Xm)C12，P(X2m)C21，P(X3m)C30，所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为X0m2m3mP于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是E(X)0m2m3m1.5m.(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m150，所以m100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利