1、三角形中的几何计算及实际应用举例【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。（1）求证：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知找出与的关系，即，即可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。 解：（1）由AB=AD.（2）由正弦定理得：将此式代入得：将整理得：又故。即所求的角是例2. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。解：设边长是x，（1x3）， ，则=90在三角形ABP中：
2、由余弦定理得：，同理在CBP中： ，90得：即有：（*） 解*得所求的边长为。说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。考点二：研究几何计算问题中的最值问题。如图所示，点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT=1，则如何确定P点的位置？才能使得四边形ABTP的面积最大？思路分析：由已知得P点的变化引起角PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于角PAB的函数，然后求函数的最值。解：连接BP，设PAB，由AB为直径得APB90，即APB是直角三角形，由A
3、B=PT=1得：。又PT是圆的切线，故，BPTPAB 例4. 在等边三角形ABC中，AB=a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求的最大值。思路分析：由于M、N的变化导致角MOA的变化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函数，再求最大值。解：由已知MAO=NAO30，设MOA，则 故当时，即时，取得最大值是。【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。考点三：利用正弦定理、余弦定理解决实际问题例5. （1）（航海问题）已知一测高仪表失灵的飞机在高空以300km/h的速度按水平方向向东飞行，飞机的航线和山顶C在同一铅直的平面内，若在A处的飞行员利用测角仪器测得先看到海
4、拔高度为4000m的山顶C的俯角为15，经120秒后在B点又看到山顶C的俯角是60，求飞机现在的海拔高度。思路分析：先根据已知条件画出图形，找出两个俯角，再根据正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。解：根据已知画出图形（如图）BAC=15，DBC=60，故BCA=45又AB=300=10（km），则在ABC中由正弦定理得：在直角BDC中：CD=BCsin60=故飞机飞行的海拔高度是3170+4000=7170（米）（2）某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角45，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位
5、角为105的方向，以每小时9海里的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，求舰艇的航向及靠近渔轮的时间。思路分析：根据题意先画出图形，设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得舰艇的航向。解：设舰艇收到信号x小时在B处与渔轮靠拢，则AB=21x，BC=9x，AC=10，ACB=120在ABC中，由余弦定理得：120整理得：，由正弦定理可求BAC21.8，答：舰艇沿方位角（45+21.8）的方向航行40min 可靠近渔轮。例6. （测量问题）欲测量河对岸两点P，Q之间的距离，应如何测量？思路分析：可以在岸边选定距离为a的两
6、个观测点A，B，然后测出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。解：选定距离为a的两个观测点A，B。利用测角仪器测得：BAP=BAQ=，ABQ=ABP=，则由正弦定理得：，同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：例7. （台风问题）某城市附近的海面上有一股台风，台风中心位于城市O的南偏东方向300km海面的P处，并以每小时20km/h的速度向北偏西45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当时半径是60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？思路分析：设经过x小时该城市恰好受到台风的侵袭，假设台风中心由P移到Q处（如图），此时台风的侵袭半径是OQ
7、=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立关于x的方程求x。解：设x小时后该城市恰好受到台风的侵袭，此时台风中心由P处移到Q处，台风的侵袭半径是（60+10x）km，城市O恰好受到台风侵袭的条件是OQ=60+10x在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，OPQ=45，cosOPQ=cos（45）=，由余弦定理得：故方程无解，即该城市不会受到台风的影响。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述了利用正弦定理、余弦定理及其相关的知识解决三角形中的几何计算及实际问题，在此过程中，体现了方程的数学思想（如例1、例2）、函数的数学思想（如求最值问题）、等价转化的数学思想等在解题中的应用。