1、专题02 函数函数的概念和性质一、 选择题1(2018全国卷)函数的图像大致为 B【解析】当时，因为，所以此时，故排除AD；又，故排除C，选B2(2018全国卷)函数的图像大致为D【解析】当时，排除A，B由，得或，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D3(2018全国卷)已知是定义域为的奇函数，满足若，则A B0C2D50C【解析】解法一 是定义域为的奇函数，且，是周期函数，且一个周期为4，故选C解法二 由题意可设，作出的部分图象如图所示由图可知，的一个周期为4，所以，所以，故选C4(2018浙江)函数的图象可能是ABCDD【解析】设，其定义域关于坐标原点对称，又
2、，所以是奇函数，故排除选项A，B；令，所以，所以()，所以()，故排除选项C故选D5函数在单调递减，且为奇函数若，则满足 的的取值范围是A B C DD【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，所以得，即，选D6若函数在区间0，1上的最大值是，最小值是，则A与有关，且与有关 B与有关，但与无关C与无关，且与无关 D与无关，但与有关B【解析】函数的对称轴为，当，此时，；当，此时，；当，此时，或，或综上，的值与有关，与无关选B7已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为A B C DC【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，所以又，所以，故，选C8已知函数，则A是奇函数，且
3、在R上是增函数 B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数 D是偶函数，且在R上是减函数A【解析】，得为奇函数，所以在R上是增函数选A9已知函数f(x)的定义域为R当x1,所以,因为,所以指数函数为递减函数,又-0.10.2,所以,即,综上所述,.故选:A14设函数，则满足的的取值范围是A B C DC【解析】由可知，则或，解得15已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是A B C D D【解析】由图象可知，当时，得16设，则A B C DD【解析】由图象可知，当时，得17在同意直角坐标系中，函数的图像可能是D【解析】当时，函数单调递增，函数单调递增，且过点(1，0
4、)，由幂函数的图象性质可知C错；当时，函数单调递增，函数单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C错，因此选D18函数的单调递增区间是A B C DD【解析】，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为19设，则A B C DD【解析】，由下图可知D正确解法二 ，由，可得答案D正确20设，则有（ ）ABCDA【解析】因为，所以二、填空题21(2018江苏)函数的定义域为 【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是22(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以23 (2018上海)已知常数，函数的图像
5、经过点、，若，则=_【解析】由题意，上面两式相加，得，所以，所以，因为，所以24 已知，若，则= ，= 【解析】设，则，因为，因此25 不等式的解集为_【解析】由题意得：，解集为26 若，则_【解析】，27 设函数则使得成立的的取值范围是_【解析】当时，由得，；当时，由得，综上28 函数的单调递减区间是_【解析】，知单调递减区间是29 函数的最小值为_【解析】当且仅当，即时等号成立30若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意专题02 函数 函数与方程一、选择题1(2018全国卷)已知函数若存在2个零点
6、，则的取值范围是A B C DC【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，解得，故选C2（2017新课标）已知函数有唯一零点，则=A B C D1C【解析】令，则方程有唯一解，设，则与有唯一交点，又，当且仅当时取得最小值2而，此时时取得最大值1，有唯一的交点，则选C3（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是A BC DB【解析】当时，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，所以，此时与在有一个交点；当时，函数，在上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，要使
7、两个函数的图象有一个交点，需，即，解得选B4已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A(0， B， C， D，）C【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解因此，只需当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，即在上恰有唯一的实数解判别式，当时，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取
8、值范围是5下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A B C DA【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点故选A6若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于A6 B7 C8 D9D【解析】由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以，选D7已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是A B C DD【解析】由得，所以，即，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同
9、的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知8对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A1是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D点在曲线上A【解析】由A知；由B知，；由C知，令可得，则，则；由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A9已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A B C DB【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选10已
10、知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A B C DC【解析】，零点的区间是11已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A BC DA【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，当直线与和都相交时；当直线与有两个交点时，由，消元得，即，化简得，当，即时直线与相切，当直线过点时，所以，综上实数的取值范围是12已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的集合为 A B C D D【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，即，由得（正根舍去）13已知函数有两个极值点，若，则关于
11、的方程的不同实根个数为A3 B4 C5 D6A【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.14若，则函数的两个零点分别位于区间A和内 B和内 C和内 D和内A【解析】由，可得，显然，所以该函数在和上均有零点，故选A15函数的图像与函数的图象的交点个数为A3 B2 C1 D0 B【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为，； 所以，从图像上可知交点个数为216函数的零点个数为A1 B2 C3 D4B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点17函数的零点个数为A0 B1 C2 D3B【解析】因为在内单调递增，又，所以在内存在唯一的零点18.函
12、数在区间上的零点个数为A4 B5 C6 D7C【解析】，则或，又，所以共有6个解.选C19设函数满足，且当时，又函数，则函数在上的零点个数为A5 B6 C7 D8B【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B20对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A BC DB【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即
13、可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B二、填空题21(2018全国卷)函数在的零点个数为_3【解析】由题意知，所以，所以，当时，；当时，；当时，均满足题意，所以函数在的零点个数为322(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 【解析】当时，由，得；当时，由，得令，作出直线，函数的图象如图所示，的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得23(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 【解析】()，当时在 上恒成立，则在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意当时，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增，又在内有
14、且只有一个零点，所以，得，所以，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，则，所以在上的最大值与最小值的和为24(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_若函数恰有2个零点，则的取值范围是_；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得综上可知，所以不等式的解集为令，解得；令，解得或因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或25(2018浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时， ， 8；11【解析】因为，所以，解得26（2017江苏）设是定义在
15、且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为827已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_.【解析】由题意，当时，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的
16、交点，不符合题意；当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意综上，的取值范围为 图1 图228函数的零点个数为 2【解析】因为=专题02 函数函数的综合及其应用一、选择题1已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A B C DA【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是选A解法二 由题意的最小值为，此时不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立当时，令，不符合，排除C、D；当时，令
17、，不符合，排除B选A2设，且，则ABCDD【解析】对A项，当时，故A错误；对B项，取，时，不满足，故B错误；对C项，取，时，不满足，故C错误；对D项，函数在上单调递增，则，故D正确;故选：D3加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A分钟 B分钟 C分钟 D分钟B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入中可解得，当分钟时，可食用率最大4某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率
18、为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A B C DD【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D二、填空题5若函数(e=271828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 【解析】在上单调递增，故具有性质；在上单调递减，故不具有性质；，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；，令，则，在上单调递增，故具有性质6设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
19、因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为87设函数若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_，.【解析】若，则，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为综上函数的最大值为2函数与的大致图象如图所示若无最大值，由图象可知，即8某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是
20、 小时24【解析】由题意得，即，所以该食品在的保鲜时间是9已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是_【解析】函数的定义域为，根据已知得，所以，恒成立，即，令，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是10.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得11以表示
21、值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间例如，当，时，现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【解析】对于，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为，所以正确；对于，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以错误；对于，若，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有，两式相加得，于
22、是，与已知“.”矛盾，故，即正确；对于，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，所以，即正确，故填三、解答题12某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少
23、于自驾群体的人均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为因此人均通勤时间，整理得：，则当，即时，单调递减；当时，单调递增实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降13（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成已知圆的半径为40米，点到的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩
24、形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设与所成的角为(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】(1)连结并延长交于，则，所以=10过作于，则，所以，故，则矩形的面积为，的面积为过作，分别交圆弧和的延长线于和，则令，则，当时，才能作出满足条件的矩形，所以的取值范围是答：矩形的面积为平方米，的面积为，的取值范围是(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为，设，则令，得，当
25、时，所以为增函数；当时，所以为减函数，因此，当时，取到最大值答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大14已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【解析】（1）由，得，解得（2），当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意当且时，是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即于是满足题意的综上，的取值范围为（3）当时，所以在上单调递减函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为15某山区外围有
26、两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型（I）求的值；（II）设公路与曲线相切于点，的横坐标为. 请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域； 当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，将其分别代入，得，解得（2）由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，
27、轴分别于，点，则的方程为，由此得，故，设，则令，解得当时，是减函数；当时，是增函数从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米16某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大【解析】（）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.又题意
28、据，所以，从而因，又由可得，故函数的定义域为.（）因，故令，解得（因不在定义域内，舍去）.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数.由此可知，在处取得最大值，此时即当，时，该蓄水池的体积最大17设函数（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，求的最小值和最大值；（3）设，若对任意，有，求的取值范围；【解析】（1）当时，在内存在零点又当时，在上是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；（2）解法一 由题意知即由图像知，在点取得最小值，在点取得最大值解法二 由题意知，即，即+得当时，；当时，所以的最小值，最大值解法三 由题意知,解得又, 当时，；当时，所以的最小值，最大值(3)当时,对任意都有有等价于在-1,1上的最大值与最小值之差据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾()当,即时, 恒成立() 当,即时, 恒成立综上可知,