1、2015-2016学年黑龙江省伊春二中高一（下）期末数学试卷一、选择题1已知A点坐标为A（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（）A（6，0，0）B（6，0，1）C（0，0，6）D（0，6，0）2若过点A（2，2）和点B（5，0）的直线与过点P（2m，1）和点Q（1，m）的直线平行，则m的值为（）A1B1C2D3圆x2+y22x+4y+3=0的圆心到直线xy=1的距离为：（）A2BC1D4在等差数列an中，2a3+a9=3，则数列an的前9项和等于（）A9B6C3D125等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A
2、BCD6设非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+b0Bab0CDabb27某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A1B2C3D8如果实数x、y满足条件，那么z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D49已知关于x，y的不等式组，所表示的平面区域的面积为l6，则k的值为（）AlB0C1D310设有不同的直线a，b和不同的平面，给出三个命题：若a，b，则ab若a，a，则若，则，其中真命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个11设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A3B2C2D12直线y=kx+3与圆（x2）2+（y3
3、）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）ABCD二、填空题13已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为_14和直线3x+4y7=0垂直，并且在x轴上的截距是2的直线方程是_15设不等式ax2+bx+10的解集为（），则ab=_16若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是_三、解答题17在锐角ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asinB=b（1）求角A；（2）若b=1，a=，求SABC18已知数列an中满足a1=1，an+1an=2n（nN+）（1）求数列an的通项公式（2）求数列an的前n项和Sn
4、19如图所示，已知P，Q是正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心（1）求证：PQ平面BCC1B1；（2）求直线PQ与平面ABCD所成角20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AC=AA1=1，D是BC的中点（1）求证：AD平面B1C1CB；（2）求二面角A1BCA的余弦值21已知点A（4，3），B（2，9），圆C是以线段AB为直径的圆（1）求圆C的方程；（2）设点P（0，2）则求圆内以P为中点的弦所在的直线l0的方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且O
5、AOB，求a的值2015-2016学年黑龙江省伊春二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1已知A点坐标为A（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（）A（6，0，0）B（6，0，1）C（0，0，6）D（0，6，0）【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标【分析】先根据题意设P（x，0，0），再利用平面上两点的距离公式表示出|PA|=|PB|，最后解一个关于x的方程即得结果【解答】解：点P在x轴上，设P（x，0，0又|PA|=|PB|，=解得；x=6故选A2若过点A（2，2）和点B（5，0）的直线与过点P（2m，1）和点Q（1，m）
6、的直线平行，则m的值为（）A1B1C2D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】分别求出过点A（2，2）、B（5，0）的直线与过点P（2m，1）、Q（1，m）的直线的斜率，由斜率相等列式求解m的值【解答】解：由A（2，2）、B（5，0）得，过A、B的直线的斜率kAB=，过点P（2m，1）、Q（1，m）的直线的斜率kPQ=，过点A（2，2）、B（5，0）的直线与过点P（2m，1）、Q（1，m）的直线平行，=，解得：m=1故选：B3圆x2+y22x+4y+3=0的圆心到直线xy=1的距离为：（）A2BC1D【考点】点到直线的距离公式；圆的一般方程【分析】先求圆心坐标，然后用点到直线的距离公
7、式求解即可【解答】解：圆x2+y22x+4y+3=0的圆心（1，2），它到直线xy=1的距离：故选D4在等差数列an中，2a3+a9=3，则数列an的前9项和等于（）A9B6C3D12【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解【解答】解：在等差数列an中，2a3+a9=3，2（a1+2d）+（a1+8d）=3，3a1+12d=3，a1+4d=1，数列an的前9项和：S9=9（a1+4d）=9故选：A5等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q
8、，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C6设非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+b0Bab0CDabb2【考点】不等式比较大小【分析】利用不等式的基本性质及其a，b的正负即可判断出结论【解答】解：ab，则ab0，a+b与0的大小关系不确定，与的大小关系不确定，ab与b2的大小关系不确定，故选：B7某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A1B2C3D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥，由三视图中数据求出四棱锥底面中、高对应的数据，代入椎体的体积
9、公式求解即可【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，且上、下底为1和2，高为2；四棱锥的高是1，所以该几何体的体积V=1，故选：A8如果实数x、y满足条件，那么z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，1），此时z=41=3，故选：C9已知关于x，y的不等式组，所表示的平面区域的
10、面积为l6，则k的值为（）AlB0C1D3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】依题意，k0，故画出线性约束条件表示的可行域，利用三角形面积公式，数形结合即可解得k的值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，显然k一定大于零，由得A（4，4k+4）平面区域的面积为S=l6S=4AC=2（4k+4）=16解得k=1故选 C10设有不同的直线a，b和不同的平面，给出三个命题：若a，b，则ab若a，a，则若，则，其中真命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据线面平行的定义和性质，平面与平面平行的性质与判定，即可得出结论【解答】解：a，b，当a，b
11、共面时，满足ab或a，b相交；当a，b不共面时，a和b为异面直线，a和b的关系是平行、相交或异面，故不正确；若a，a，则或，相交，故不正确；若，根据平面与平面平行的性质与判定，可得，故正确故选：B11设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A3B2C2D【考点】正弦定理【分析】运用余弦定理：a2=b2+c22bccosA，解关于b的方程，结合bc，即可得到b=2【解答】解：a=2，c=2，cosA=且bc，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即有4=b2+124b，解得b=2或4，由bc，可得b=2故选：C12直线y=kx+3与圆
12、（x2）2+（y3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）ABCD【考点】直线和圆的方程的应用【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题【解答】解：圆（x2）2+（y3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线y=kx+3的距离等于d=由弦长公式得MN=22，1，解得，故选B二、填空题13已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】根据题意知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果【解
13、答】解：连接DE，设AD=2易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3cosDAE=，故答案为：14和直线3x+4y7=0垂直，并且在x轴上的截距是2的直线方程是4x3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】根据两直线垂直斜率之积等于1，求出所求直线的斜率，再由直线过点（2，0），即可得出答案【解答】解：直线3x+4y7=0的斜率为所求直线的斜率为，过点（2，0），故所求直线方程为y=（x+2），即4x3y+8=0故答案为：4x3y+8=015设不等式ax2+bx+10的解集为（），则ab=6【考点】一元二次不等式的解
14、法【分析】根据不等式的解集和对应方程之间的关系，利用根与系数之间的关系进行求解即可【解答】解：不等式ax2+bx+10的解集是（），1，是对应方程ax2+bx+1=0的两个根，1=，解得a=31+=，解得b=2，ab=6故答案为：616若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式，根据xy把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得【解答】解：x2+y2+xy=1（x+y）2=1+xyxy（x+y）21，整理求得x+yx+y的最大值是故答案为：三、解答题17在锐角ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asi
15、nB=b（1）求角A；（2）若b=1，a=，求SABC【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）根据已知和正弦定理，确定出sinA的值，进而确定角A的大小（2）根据正弦定理，可求sinB，进而确定B的大小，再根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）由2asinB=b，可得，sinA=，A为锐角，A=60（2）b=1，a=，A=60，由，可得：，解得：sinB=，在锐角ABC中，B=30，C=180AB=90，SABC=ab=18已知数列an中满足a1=1，an+1an=2n（nN+）（1）求数列an的通项公式（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）利用“
16、累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出（2）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）a1=1，an+1an=2n（nN+），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n1+2n2+2+1=2n1（2）数列an的前n项和Sn=（2+22+2n）n=2n=2n+12n19如图所示，已知P，Q是正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心（1）求证：PQ平面BCC1B1；（2）求直线PQ与平面ABCD所成角【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以B为原点建立坐标系，求出和平面BCC1B1的法向量，通过证明得出PQ平面BCC1
17、B1（2）求出平面ABCD的法向量，计算cos，于是直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值为|cos，|【解答】解：（1）证明：以B为原点，以BA，BC，BB1为坐标轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，AB平面BCC1B1，为平面BCC1B1的一个法向量，设正方体的棱长为2，则P（1，0，1），Q（1，1，0），B（0，0，0），A（2，0，0），=（0，1，1），=（2，0，0）=0，又PQ平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1（2）BB1平面ABCD，为平面ABCD的法向量， =（0，0，2），=2cos，=，直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值为，直线PQ与平面ABCD所成角为20如图
18、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AC=AA1=1，D是BC的中点（1）求证：AD平面B1C1CB；（2）求二面角A1BCA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用直三棱柱的性质可得CC1AD再利用等腰三角形的性质可得ADBC利用线面垂直的判定定理即可证明AD平面B1C1CB（2）利用直三棱柱的性质可得：AA1AC，AA1AB，AA1AD由A1C=A1B，可得A1DBC，由（1）可得：ADBC因此ADA1是二面角A1BCA的平面角再利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】（1）证明：如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AD
19、底面ABCCC1ADAB=AC=1，D是BC的中点ADBC又BCCC1=CCC1平面B1C1CB（2）解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AC，AB，AD底面ABCAA1AC，AA1AB，AA1ADA1C=，A1B=，又D是BC的中点，A1DBC，由（1）可得：ADBCADA1是二面角A1BCA的平面角在等边三角形ABC中，AD=，在RtADA1中，A1D=cosADA1=21已知点A（4，3），B（2，9），圆C是以线段AB为直径的圆（1）求圆C的方程；（2）设点P（0，2）则求圆内以P为中点的弦所在的直线l0的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程【分析】（1）求出
20、圆的圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）求出所求直线的斜率，然后求解以点P为中点的弦所在的直线方程【解答】解：（1）AB的中点坐标为C（1，3），半径为=，圆C的方程为（x+1）2+（y3）2=45；（2）kCP=1，以点P为中点的弦所在的直线的斜率为：1以点P为中点的弦所在的直线方程为：y2=x0即xy+2=022在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且OAOB，求a的值【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质【分析】（）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心
21、坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（）利用设而不求思想设出圆C与直线xy+a=0的交点A，B坐标，通过OAOB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值【解答】解：（）法一：曲线y=x26x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（32，0）可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x3）2+（y1）2=9法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x26x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=6，F=1，E=2，即圆方程为x2+y26x2y+1=0（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a8）x+a22a+1=0，由已知可得判别式=5616a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4a，x1x2=，由于OAOB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0由可得a=1，满足=5616a4a20故a=12016年9月25日