1、2015-2016学年黑龙江省东部地区联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0） B（0，） C（0，） D（0，1）2要从编号为0150的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A05，10，15，20，25 B03，13，23，33，43C01，02，03，04，05 D02，04，08，16，323在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件
2、中的必然事件是（）A4件都是正品 B至少有一件次品C4件都是次品 D至少有一件正品4在区间2，3中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点x轴上的椭圆”的概率是（）A B C D5下列说法中：命题“若x1，则x23x+20”的否命题是“若x=1，则x23x+2=0”；命题“xR，lg（x2+x+1）0”是假命题；命题“若x=2，则向量=（x，1）与=（4，x）共线”的逆否命题是真命题其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D36对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），该样本中的中位数、众数、极差分别是（）A46，45，56 B46，45，53 C47，45，56 D4
3、5，47，537设f（x）是函数f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则f（x）的图象最有可能是（）A B C D8执行如图程序框图若输入n=20，则输出的S值是（）A B C D9已知a0，a1，x0，则“a2”是“logalogax”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件10甲口袋内有大小相等的2个红球和3个白球，乙口袋内装有大小相等的1个红球和2个白球，从两个口袋中各摸出1个球，那么等于（）A2个球都是白球的概率B2个球中恰好有1个是白球的概率C2个球都不是白球的概率D2个球至少有一个白球的概率11过抛物线y2=x的焦点作倾斜角为30的直线与抛物线
4、交于P、Q两点，则|PQ|=（）A B2 C3 D112已知函数f（x）=x2+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+af（x）+b=0的不同实数的个数为（）A3 B4 C5 D6二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13命题“存在xZ，使x2+2x+m0”的否定是14一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.6，则估计样本在40，50），50，60）内的数据个数之和是15函数f（x）=sinxcosxx在区间0，上的最小值为16双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果
5、线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设条件 p：2x23x+10，条件q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为2530，3035，3540，4550，5055六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知3545之间的志愿者共20人（1）计算N的值；（2）从4555之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1
6、名男教师的概率19某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/千万元23345（1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有线性相关关系用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值21已知函数f（x）=alnx+bx在
7、x=1处的切线与直线xy+1=0平行，函数f（x）在1，e上是单调函数且最小值为0（1）求实数a，b；（2）对一切x（0，+），xf（x）x2cx+12恒成立，求实数c的取值范围22已知抛物线C1：y2=2px（p0）上一点P到其焦点F的距离为，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O（1）求抛物线C1的方程；（2）设点A（a，0）（a2），圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M、N两点，且|MN|=4，若点A到点T的最短距离为a1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由2015-2016学年黑龙江省东部地区联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题
8、（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0） B（0，） C（0，） D（0，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2=2y2p=2，=抛物线开口向下抛物线y=x2的焦点坐标为（0，）故选：C2要从编号为0150的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A05，10，15，20，25 B03，13，23，33，43C
9、01，02，03，04，05 D02，04，08，16，32【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论【解答】解：若采用系统抽样，则抽样间隔为505=10，故只有B满足条件，故选：B3在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（）A4件都是正品 B至少有一件次品C4件都是次品 D至少有一件正品【考点】随机事件【分析】结合已知可得：4件都是正品和少有一件次品是随机事件；4件都是次品是不可能事件；至少有一件正品是必然事件进而得到答案【解答】解：在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，4件都是正品是随机事件；至少
10、有一件次品是随机事件；4件都是次品是不可能事件；至少有一件正品是必然事件，故选：D4在区间2，3中任取一个数m，则“方程+=1表示焦点x轴上的椭圆”的概率是（）A B C D【考点】几何概型【分析】由方程+=1表示焦点x轴上的椭圆得到关于m不等式，求出m范围，利用几何概型公式解答【解答】解：因为方程+=1表示焦点x轴上的椭圆，则m+3m2+1，解得1m2，所求概率为；故选A5下列说法中：命题“若x1，则x23x+20”的否命题是“若x=1，则x23x+2=0”；命题“xR，lg（x2+x+1）0”是假命题；命题“若x=2，则向量=（x，1）与=（4，x）共线”的逆否命题是真命题其中正确的个数是
11、（）A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出原命题的否命题判断；求出x2+x+1的范围，结合对数函数的值域判断；把x=2分别代入向量，得到，结合互为逆否命题的两个命题共真假判断【解答】解：对于，命题“若x1，则x23x+20”的否命题是“若x=1，则x23x+2=0”，正确；对于，xR，则lg（x2+x+1）0不恒成立，命题是假命题，正确；对于，由x=2，得=（2，1）=（4，2）=，命题“若x=2，则向量=（x，1）与=（4，x）共线”为真命题，其逆否命题是真命题，正确正确命题的个数是3个故选：D6对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），
12、该样本中的中位数、众数、极差分别是（）A46，45，56 B46，45，53 C47，45，56 D45，47，53【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【分析】由已知中的茎叶图，求出数据的中位数、众数、极差，可得答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得：中位数为：（45+47）=46，众数为：45，极差为：6812=56，故选：A7设f（x）是函数f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则f（x）的图象最有可能是（）A B C D【考点】函数的单调性与导数的关系；复合函数的单调性【分析】数形结合可得在（，0）、（2，+） 上，f（x）0，f（x）是增函数在（0，2）上，f（x）0，f（x）是减函
13、数，从而得出结论【解答】解：由f（x）的图象可得，在（，0）上，f（x）0，f（x）是增函数在（0，2）上，f（x）0，f（x）是减函数在（2，+）上，f（x）0，f（x）是增函数故选：C8执行如图程序框图若输入n=20，则输出的S值是（）A B C D【考点】循环结构【分析】模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列的求10项和，由裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列的求10项和S=+=+=（1+）=故选：A9已知a0，a1，x0，则“a2”是“logalogax”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点
14、】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由a2，可知：函数y=log2x在（0，+）上单调递增；可知：“logalogax”成立反之不成立，因为a1即可【解答】解：a2，可知：函数y=log2x在（0，+）上单调递增；x0，“logalogax”，当且仅当x=1时取等号反之不成立，因为a1即可故选：A10甲口袋内有大小相等的2个红球和3个白球，乙口袋内装有大小相等的1个红球和2个白球，从两个口袋中各摸出1个球，那么等于（）A2个球都是白球的概率B2个球中恰好有1个是白球的概率C2个球都不是白球的概率D2个球至少有一个白球的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】从两个口袋中各摸出1个球
15、，共有15种不同的情况，利用古典概型概率计算公式，求出各种情况的概率，可得答案【解答】解：甲口袋内有大小相等的2个红球和3个白球，乙口袋内装有大小相等的1个红球和2个白球，从两个口袋中各摸出1个球，共有15种不同的情况，2个都是白球，共有6种不同的情况，故概率为： =，2个球中恰好有1个是白球共有7种不同的情况，故概率为：，2个球都不是白球的共有2种不同的情况，故概率为：，2个球至少有一个白球共有13种不同的情况，故概率为：，故选：B11过抛物线y2=x的焦点作倾斜角为30的直线与抛物线交于P、Q两点，则|PQ|=（）A B2 C3 D1【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，设出P
16、，Q的坐标，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，求出直线PQ的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理，计算即可得到所求值【解答】解：y2=x的焦点为（，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+，由直线PQ：y=（x）代入抛物线的方程可得，x2x+=0，即有x1+x2=，则|AB|=+=2故选：B12已知函数f（x）=x2+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+af（x）+b=0的不同实数的个数为（）A3 B4 C5 D6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由函数f（x）=
17、x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，必有=a212b0而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，f（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，=a212b0而方程3（f（x）2+af（x）+b=0的1=0，此方程有两解且f（x）=x1或x2不妨取0x1x2，f（x1）0把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）x1的图象，f
18、（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）x2的图象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解综上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2只有3个实数解即关于x的方程3（f（x）2+af（x）+b=0的只有3不同实根故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13命题“存在xZ，使x2+2x+m0”的否定是xZ，x2+2x+m0【考点】命题的否定【分析】将“存在”换为“”同时将结论“x2+2x+m0”换为“x2+2x+m0”【解答】解：“存在xZ，使x2+2x+m0”的否定是xZ，x2+2x+m0，故答案
19、为xZ，x2+2x+m014一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.6，则估计样本在40，50），50，60）内的数据个数之和是21【考点】频率分布表【分析】设分布在40，50），50，60）内的数据个数分别为x，y根据样本容量为50和数据在20，60）上的频率为0.6，建立关于x、y的方程，解之即可得到x+y的值【解答】解：根据题意，设分布在40，50），50，60）内的数据个数分别为x，y样本中数据在20，60）上的频率为0.6，样本容量为50，解之得x+y=21即样本在40，50），50，60）内的数据个数之和为21故答案为：21
20、15函数f（x）=sinxcosxx在区间0，上的最小值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可【解答】解：f（x）=sinxcosxx，x0，f（x）=sinxcosx1=2sin（x）1，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，f（x）在0，）递减，在（，递增，f（x）min=f（）=，故答案为：16双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=9【考点】双曲线的简单性质【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上
21、，求得点P的坐标，进而计算|PF1|，|PF2|，即可求得|PF1|：|PF2|的值【解答】解：由题意，a=2，b=，c=不妨设F1（，0），则P（，），|PF2|=，|PF1|=4+=，|PF1|：|PF2|=9故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设条件 p：2x23x+10，条件q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围【解答】解：由
22、题意得，命题，命题q：B=x|axa+1，p是q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件，即AB，故实数a的取值范围为0，18为响应工业园区举行的万人体质监测活动，某高校招募了N名志愿服务者，将所有志愿者按年龄情况分为2530，3035，3540，4550，5055六个层次，其频率分布直方图如图所示，已知3545之间的志愿者共20人（1）计算N的值；（2）从4555之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取2名担任后勤保障工作，求恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）通过频率分布直方图，即可计算出N；（2
23、）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，再利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：（1）由题知3540的频率为 1（0.01+0.02+0.04+0.01）5=0.3，3540的频率为0.3+0.045=0.5，N=40，（2）4555之间的志愿者中女教师有4名，男教师有40（0.01+0.02）52=2名，记4名女教师为A1，A2，A3，A4，2名男教师为B1B2，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2）
24、，（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共有15种其中恰好抽到1名女教师，1名男教师共有8种，故恰好抽到1名女教师，1名男教师的概率19某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/千万元23345（1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有线性相关关系用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程【考点】回归分析的初步应用【分析】（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售
25、额和利润额具有相关关系（2）做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本直线的代入求出a的值，协会粗线性回归方程【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系（2）=6， =3.4，b=0.5a=3.40.56=0.4回归直线方程y=0.5x+0.420如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，（1）求直线BD的方程；（2）已知抛物线C：x2=2py（p0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d
26、1，点Q到抛物线C的准线的距离为d2，求d1+d2的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知得BP=DA=2，P（1，2），B（1，2），由此能求出直线BD的方程（2）由已知求出p=，d2=|QF|，从而当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值【解答】解：（1）BP=DA，且A（3，0），D（1，0），BP=DA=2，而B、P关于y轴对称，点P的横坐标为1，从而得到P（1，2），B（1，2），直线BD的方程为：，整理，得：x+y1=0（2）抛物线C：x2=2py（P0）过点P（1，2），4p=1，即p=，抛物线C的焦点为F，则d2=|QF|，当A、Q、F三点共线时，d1+d2有最小值
27、，即（d1+d2）min=|AF|=21已知函数f（x）=alnx+bx在x=1处的切线与直线xy+1=0平行，函数f（x）在1，e上是单调函数且最小值为0（1）求实数a，b；（2）对一切x（0，+），xf（x）x2cx+12恒成立，求实数c的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a+b=1，讨论f（x）在1，e的单调性，可得最小值，解方程即可得到a，b，注意检验；（2）运用参数分离，可得cx+lnx在（0，+）恒成立令g（x）=x+lnx，x0，求得导数和
28、单调区间，即可得到最小值，即可得到c的范围【解答】解：（1）函数f（x）=alnx+bx的导数为f（x）=b+，即有在x=1处的切线斜率为a+b，由题意可得a+b=1，若函数f（x）在1，e上是单调递增，则f（1）=0，即有b=0，a=1；若函数f（x）在1，e上是单调递减，则f（e）=0，即有a+be=0，解得a=，b=，即有f（x）=，在1，e上f（x）0，即有f（x）在1，e上递增，不成立则有a=1，b=0；（2）f（x）=lnx，对一切x（0，+），xf（x）x2cx+12恒成立，即有cx+lnx在（0，+）恒成立令g（x）=x+lnx，x0，g（x）=1=，当x4时，g（x）0，g（
29、x）递增；当0x4时，g（x）0，g（x）递减即有g（x）在x=4处取得极小值，也为最小值，且为72ln2，则有c72ln2则c的取值范围是（，74ln222已知抛物线C1：y2=2px（p0）上一点P到其焦点F的距离为，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O（1）求抛物线C1的方程；（2）设点A（a，0）（a2），圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M、N两点，且|MN|=4，若点A到点T的最短距离为a1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据抛物线的定义结合圆的性质建立方程关系进行求解即可（2）根据抛物线与圆的位置关系求出
30、圆心T的坐标，结合直线和圆的位置关系进行求解即可【解答】（1）y2=2px（p0）上一点P到其焦点F的距离为，|PF|=，以P为原点且与抛物线准线l相切的圆恰好过原点O，|PO|=|PF|=，即POF为等腰三角形，过P作PQx于Q，则x=，得p=2，抛物线的方程为y2=4x（2）设T（x0，y0），圆C2的半径为r，T是抛物线y2=4x上的动点，y02=4x0，（x00），|AT|=，a2，a20，则当x0=a2时，AT取得最小值为2，由2=a1，平方得a26a+5=0，得a=5或a=1（舍），则当x0=a2=3，y02=4x0=12，即y0=2，圆C2的圆心T（3，2），圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，|MN|=2=4，r=，点T到直线l的距离d=|x0+1|=4，直线l与圆C2相离2016年7月7日