1、第一节平面向量的概念及坐标运算1.(2014新课标全国，6)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.解析()()()，故选A.答案A2.(2016新课标全国，13)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.答案63.(2015新课标全国，2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)解析(3，1)，(4，3)，(4，3)(3，1)(7，4).答案A4.(2015新课标全国，4)已知a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)
2、a()A.1 B.0C.1 D.2解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，选C.答案C1.(2016四川，9)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A. B.C. D.解析建系如图，则易知B(，0)，C(，0)，A(0，3).设M(x，y)，P(a，b)，即P(2x，2y)，又|1.P点在圆x2(y3)21上，即(2x)2(2y3)21，整理得，(记为圆)，即M点在该圆上，求|的最大值转化为B点到该圆上的一点的最大距离，即B到圆心的距离再加上该圆的半径：|2.答案B2.(
3、2015北京，6)设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析由数量积定义ab|a|b|cos |a|b|(为a，b夹角)，cos 1，0，180，0，ab；反之，当ab时，a，b的夹角0或180，ab|a|b|.答案A3.(2015四川，2)设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A.2 B.3 C.4 D.6解析a(2，4)，b(x，6)，ab，4x260，x3.答案B4.(2014福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
4、()A. B.2 C.3 D.4解析依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以2OM，2，所以4，故选D.答案D5.(2013四川，12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，.则_.解析由平行四边形法则可得2，所以2.答案26.(2015安徽，15)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号).a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析ABC为边长是2的等边三角形，|2a|2|a|2，从而|a|1，故正确；又2ab2ab，b，故正确；又()()220，()，即(4ab)，故正确.答案
5、7.(2014北京，3)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab()A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)解析因为a(2，4)，b(1，1)，所以2ab(22(1)，241)(5，7)，选A.答案A8.(2014广东，3)已知向量a(1，2)，b(3，1)，则ba()A.(2，1) B.(2，1)C.(2，0) D.(4，3)解析由于a(1，2)，b(3，1)，于是ba(3，1)(1，2)(2，1)，选B.答案B9.(2012天津，8)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则等于()A. B. C. D.2解析建立平面直角坐标系如图，
6、则B(1，0)，C(0，2)，P(，0)，Q(0，2(1).于是由(1，2(1)(，2)4(1)2，解得.故选B.答案B10.(2015江苏，6)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.答案311.(2013重庆，14)在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_.解析因为(1，k1)，且，所以0，即311(k1)0，解得k4.答案412.(2013山东，15)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2，2).若ABO90，则实数t
7、的值为_.解析(1，t)，(2，2)，(3，t2).又ABO90，0，即(3，t2)(2，2)0，62t40，t5.答案51.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的加法与减法(1)加法法则：服从三角形法则和平行四边形法则.性质：abba(交换律)；(ab)ca(bc)(结合律)；a00aa.(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从
8、三角形法则.3.实数与向量的积(1)|a|a|.(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a和方向相反；当0时，a0.(3)运算律：设，R，则：(a)()a；()aaa；(ab)ab.4.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.一个易错点：忽视零向量的性质致误.(1)零向量的方向不确定，所以在处理平行问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行.在讨论两个向量共线时，考生容易忽视零向量.下列叙述错误的是_(填序号).若ab，bc，则ac；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；若ab，则ab.解析对于，当b0
9、时，a不一定与c平行.对于，当a，b之一为零向量时结论不成立.对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0时，不存在.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.答案两个重要法则：向量加、减的平行四边形法则和三角形法则.(2)速记口诀：向量加法首尾连，从头指尾即可得；向量减法同起点，终点相连指被减.化简：_；_.解析0，0.答案001.平面向量基本定理定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.2.平面向量的
10、坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，存在唯一的有序数对(x，y)，使axiyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，显然0(0，0)，i(1，0)，j(0，1).(2)设xiyj，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量abababa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标
11、的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线abx1y2x2y10.三个常用结论.若a与b不共线，ab0，则0.已知(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是1.平面向量的基底中一定不含零向量.(3)已知e1，e2为平面向量的一组基底，ae1e2，b2e1，若a与b共线，则_.解析由e1，e2为一组基底知，e10，e20且e1与e2不平行，若a与b共线，则可设akb(k为实数)，即e1e22ke1，所以(12k)e1e20，即12
12、k0，且0，0.答案0(4)已知m，若A，B，C三点共线，则m_.解析由m1得m.答案 平面向量线性运算的解题方法平面向量线性运算的重点题型及解法重点类型解决方法线性运算在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则，三角形法则、利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解用已知向量表示未知的向量结合图形的几何性质，利用向量加、减法的运算法则进行向量的分解与合成运算，且要有目标意识，逐步向已知向量转化，最终达到目标求参数值结合图形，利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，或向量减法的三角形法则进行向量的分解
13、，再利用向量的相等确定参数的值确定点的位置把未知位置的点作为某一向量的起点或终点，运用向量的运算法则，把上述向量用已知的向量表示，结合共线向量定理，可得到点的位置【例1】 (1)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A. B. C. D.(2)(2015陕西西安二模)P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则P点一定在()A.ABC内部 B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上解析(1)设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比
14、为，选C.(2)，则，PA，即与共线，P点一定在AC边所在直线上，故选B.答案(1)C(2)B点评进行向量运算时，要选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. 平面向量基本定理的应用策略用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再进行向量的运算.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.(2)要注意：零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一始点出发的两边所对应的向量.(3)要熟练运用线段中点的向量表达式.【例2】 如图所示，在OAB中，AD与B
15、C交于点M，设a，b，以a、b为基底表示.解设manb(m，nR)，则(m1)anb，baab.因为A、M、D三点共线，所以，即m2n1，而(m)anb，baab，因为C、M、B三点共线，所以，即4mn1.由解得所以ab.点评平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算. 平面向量的坐标运算方略平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【例3】
16、 (1)(2016广东揭阳模拟)设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(5，6)共线，则的值为()A. B. C. D.4(2)(2016甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量a(m，1n)，b(1，2)，其中m0，n0，若ab，则的最小值是()A.2 B.32C.4 D.3解析(1)由已知得ab(12，23)，向量ab与向量c(5，6)共线.(12)(6)(23)(5)0，解得，故选A.(2)向量a(m，1n)，b(1，2)，ab，2m(1n)0.即2mn1.又m0，n0，(2mn)33232.当且仅当，即m1，n1时取等号，的最小值为32，故选B.答案(1)A(2)B点评1.两平面向量
17、共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.用向量表示三角形各种心的解题策略【示例】 (2016广西柳州铁路一中月考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点解析设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，(2)，2，(4)3，P在AB边的中线上，
18、是中线的三等分点，不是重心.故选B.答案B规律总结三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的规律如下：(1)()G为ABC的重心，0P为ABC的重心；()，0，)是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；()，即已知AD是ABC中BC边的中线.(2)P为ABC的垂心.(3)向量()(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线).(4)()()()0|222O为ABC的外心.4全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，3，能力题7，9.专项基础测试模拟精选题一、选择题1.(2016济宁市高三统考)如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若，则的值为(
19、)A. B.C. D.1解析，故.答案C2.(2016石家庄质量检测)已知点A(1，2)，B(3，4)，若2a，则向量a()A.(2，1) B.(1，3)C.(4，2) D.(2，1)解析设a(x，y)，则由题意得2a(4，2)，即解得x2，y1，所以a(2，1)，故选D.答案D3.(2015长春第一次调研)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则等于()A.(2，7) B.(6，21)C.(2，7) D.(6，21)解析33(2)63(6，30)(12，9)(6，21).答案B二、填空题4.(2014青岛调研)若向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，
20、2ab，且u，则x_.解析u(1，2)2(x，1)(1，2)(2x，2)(2x1，4).v2(1，2)(x，1)(2，4)(x，1)(2x，3).由uv，一定存在R，使uv，则有(2x1，4)(2x)，3).2x1(2x)，解得x.也可由下面的方法求得：由uv，得(2x1)34(2x)0.x.答案创新导向题平行向量的坐标运算问题5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于()A. B.C. D.解析mn，(bc)cos Aacos C0，即：(sin Bsin C)cos Asin Acos C0，sin Bco
21、s Asin B，B(0，)，sin B0，故cos A.答案C利用向量运算求面积问题6.已知P是ABC所在平面内一点，若，则PBC与ABC的面积的比为()A. B.C. D.解析以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(xA，yA)，C(xC，0)，P(xP，yP)，则由得(xPxA，yPyA)(xC，0)(xA，yA)，解得所以，故选A.答案A专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016江西八所重点中学联考)在ABC中，c，b，若点D满足4，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc解析4，44()，54，bc.答案D8.(2015湖南四大名校检测)已知向量a，
22、b，c都不平行，且1a2b3c0(1，2，3R)，则()A.1，2，3一定全为0B.1，2，3中至少有一个为0C.1，2，3全不为0D.1，2，3的值只有一组解析在ABC中，设a，b，c，则a，b，c都不平行，且abc0，排除A，B；又2a2b2c0，排除D.故选C.答案C二、填空题9.(2014汕头模拟)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.解析由图知，且20.2得：32，.答案创新导向题平面向量基本定理的应用10.如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则()A.B.C.D.解析由G为EF中点，得()()()()()()().答案C11.平
23、面向量加、减的几何表示与运算ABC是边长为1的等边三角形，已知向量a，b满足ab，ab，则下列结论错误的是()A.|a| B.|b|C.(ab)a D.ab解析2b，|1，|b|，设边BC的中点为D，2a2，|a|，ab，(ab)bb2.答案C第二节平面向量的数量积及其应用1.(2014新课标全国，4)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A.1 B.2 C.3 D.5解析因为|ab|，所以|ab|210，即a22abb210.又因为|ab|，a22abb26.由得4ab4，即ab1，故选A.答案A2.(2016新课标全国，13)设向量a(x，x1)，b(1，2)，且ab，则x_.解析
24、由题意，得ab0x2(x1)0x.答案3.(2013新课标全国，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析本题考查平面向量数量积的运算.bcbta(1t)btab(1t)|b|2t1t1t0t2.答案24.(2013新课标全国，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析本题考查向量数量积及运算性质.以，为基底，则0，()|2|222222.答案25.(2016新课标全国，3)已知向量，则ABC()A.30 B.45 C.60 D.120解析|1，|1，cosABC.答案A1.(2015广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形AB
25、CD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则()A.5 B.4 C.3 D.2解析四边形ABCD为平行四边形，(1，2)(2，1)(3，1).23(1)15.答案A2.(2015陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.(2013湖北，7)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A.
26、B.C. D.解析A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，a(2，1)，b(5，5).向量在方向上的投影为|cosa，b.故选A.答案A4.(2016山东，13)已知向量a(1，1)，b(6，4).若a(tab)，则实数t 的值为_.解析a(tab)，ta2ab0，又a22，ab10，2t100，t5.答案55.(2015湖北，11)已知向量，|3，则_.解析因为，所以0.所以()2|20329.答案96.(2015天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB
27、2，BC1，ABC60，CD1，21cos 6021cos 60cos 120.答案7.(2014重庆，12)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案108.(2015重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析因为a(2ab)，所以a(2ab)2a2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为2|a|2|a|4|a|cosa，b0即24cosa，b0，所以cosa
28、，b，即a，b夹角为.答案C9.(2014湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A.4，6 B.1，1C.2，2 D.1，1解析设D(x，y)，则(x3)2y21，(x1，y)，故|，|的最大值即为圆(x3)2y21上的点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心到点(1，)的距离加上圆的半径，即11，最小值为11，故取值范围为1，1.答案D10.(2014山东，7)已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A.2 B. C.0 D.解析根据平面向量的夹角公式可得，即3m
29、，两边平方并化简得6m18，解得m，经检验符合题意.答案B11.(2013湖南，8)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B. C.1 D.2解析由ab0，得ab，故|ab|.而1|cab|c|ab|c|，则有1|c|1，解得1|c|1，故|c|的最大值为1.答案C12.(2016北京，9)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_.解析设a与b的夹角为，则cos ，所以.答案13.(2015浙江，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析因为|e1|e2|1且e1e2.所以e1与
30、e2的夹角为60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹角为30，所以be1|b|e1|cos 301.|b|.答案14.(2014四川，14)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析由已知可以得到c(m4，2m2)，且cosc，acosc，b，所以，即，即，解得m2.答案215.(2013安徽，13)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosa，b.答案16
31、.(2013浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_.解析因为b0，所以bxe1ye2，x0，y0.又|b|2(xe1ye2)2x2y2xy，不妨设t，则，当t时，t2t1取得最小值，此时取得最大值，所以的最大值为2.答案217.(2014陕西，18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR).(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值.解(1)mn，(1，2)，(2，1)，(1，2)(2，1)(2，2)，|2.(
32、2)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.18.(2015福建，7)设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A. B. C. D.解析cakb(1，2)k(1，1)(1k，2k)，bc，bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，k，故选A.答案A19.(2015湖南，9)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2，0)，则|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，线段
33、AC为圆的直径，故2(4，0)，设B(x，y)，则x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y)，|，当x1时，此式有最大值7，故选B.答案B20.(2014安徽，10)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.0解析设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记
34、为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案B21.(2013广东，10)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc.给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的
35、个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析对于，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确；对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数确定，则一定存在单位向量c和实数满足abc，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误，故选C.答案C22.(2013福建，10)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2
36、C.5 D.10解析由于1(4)220，故，则该四边形的面积S|5.答案C23.(2015江苏，14)设向量ak(k0，1，2，12)，则(akak1)的值为_.解析ak，akak1coscoscoscossin.故=由0， 0，得akak1cos129.答案91.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB称作向量a与向量b的夹角，记作a，b.(2)范围向量夹角a，b的范围是0，且a，bb，a.(3)向量垂直如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2.平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos
37、a，b.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.(2)向量数量积的运算律abba(交换律)(ab)cacbc(分配律)(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)3.平面向量数量积的性质已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)|ab的充要条件ab0a1b1a2b20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1
38、a2b2|两个易错点：平面向量的夹角；数量积的几何意义.(1)研究向量的夹角时，应注意“共起点”在ABC中，AB4，BC3，B60，则_.解析与的夹角为180B120，43cos 1206.答案6(2)a在b的方向上的投影为|a|cos ，b在a的方向上的投影为|b|cos 已知a(3，4)，b(1，3)，若a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_.解析|a|5，a在b方向上的投影为|a|cos 5.答案1.向量数量积在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10(b0).(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1
39、x2y1y20.(3)求夹角问题.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.2.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.求向量模的两种方法.(3)公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运
40、算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|_.解析因为|a|b|1，a与b的夹角为，所以|ab|.答案 数量积运算的突破方法向量数量积的三种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.(3)利用数量积的几何意义.【例1】 (1)(2016
41、豫晋冀三省二调)已知向量a(1，k)，b(2，2)，且ab与a共线，那么ab的值为()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2015宁夏银川一中三模)已知正三角形ABC的边长是3，D是BC上的点，BD1，则_.A. B. C. D.解析(1)向量a(1，k)，b(2，2)，ab(3，k2)，又ab与a共线.(k2)3k0，解得k1，ab(1，1)(2，2)12124，故选D.(2)由余弦定理得：AD23212231cos 607，AD，cos ADB，3cos ADB3.故选B.答案(1)D(2)B 数量积的应用解题方略数量积应用的重点类型及解法重点类型解决方法求向量的模求模的公式：定义法：|
42、a|；坐标公式：|a|，除以上两个公式外，还可运用数量积的计算公式列方程求解.求向量的夹角(1)向量夹角的范围：0，. (2)向量夹角的计算公式：cos .利用向量垂直的充要条件求参数(1)两向量垂直的充要条件是ab0.(2)利用(1)中的条件可以构造方程(组)，解之可求其中的参数值.求向量的投影(1)|a|cosa，b叫做向量a在b方向上的投影.(2)求向量的投影的取值范围或最值，一般转化为三角函数求最值，或利用基本不等式求最值.【例2】 (1)(2016湖南常德市津市一中月考)已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A.4 B.3 C.2 D.1(2)(2016辽宁大
43、连模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与ab的夹角为()A. B. C. D.解析(1)由题知mn(23，3)，mn(1，1).(mn)(mn)，(mn)(mn)0，(23)30，解得3，故选B.(2)由|ab|ab|可知ab，设b，a，作矩形ABCD，可知ab，ab.设AC与BD的交点为O，结合题意可知OAODAD，AOD，DOC，又向量ab与ab的夹角为与的夹角，故所求夹角为，故选D .答案(1)B(2)D点评根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 用向量方法解决平面
44、几何问题解题策略平面几何问题中的向量方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.【例3】 (2016山东临沂质检)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则()A. B. C. D.解析由|得0.所以与垂直，即ABC为直角三角形，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，
45、所以，所以，故选B.答案B点评用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.平面向量与三角函数的综合问题解题策略【示例】 (2016四川雅安模拟)已知向量a(2sin x，cos x)，b(sin x，2sin x)，函数f(x)ab.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)1，c1，ab2，ab，求a，b的值.解(1)由题意得f(x)2sin2x2sin
46、xcos xsin 2xcos 2x12sin1.令2k2x2k，kZ.得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为，(kZ).(2)由(1)知f(C)2sin11，则sin1，角C是三角形内角，2C，即C.cos C，结合c1，ab2，可得a27，解得a23或a24，或又ab，a2，b.方法点评(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的性质解答.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，
47、5，能力题7，11.专项基础测试模拟精选题选择题1.(2016晋冀豫三省一调)已知向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C.2 D.10解析因为向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，所以2x40，2y4，解得x2，y2，所以a(2，1)，b(1，2)，所以ab(3，1)，所以|ab|.答案B2.(2016江西赣州摸底)已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，).若|ab|a|b|，则tan x的值等于()A.1 B.1 C. D.解析设a与b的夹角为.由|ab|a|b|，得|cos |1，所以向量a与b
48、共线，则sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x.又x(0，)，所以2cos x2sin x，即tan x1.答案A3.(2014郑州模拟)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)(xba)是()A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数解析ab，ab0.于是f(x)(ab)x2(|b|2|a|2)xab(|b|2|a|2)x，又|a|b|，|b|2|a|20.f(x)为一次函数且是奇函数.答案A4.(2016山西质量监测)ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，在方向上的投影为()A.3
49、B. C. D.3解析由0得，四边形OBAC为平行四边形.又|，四边形OBAC为边长为2的菱形.ACB.三角形OAB为正三角形，外接圆的半径为2，在方向上的投影为|cos 2.故选C.答案C创新导向题有关平面向量数量积的几何意义问题5.已知向量a(1，2)，b(m，1)，若向量a在b方向上的投影长为1，则m_.解析1，解得m.答案有关求向量夹角问题6.已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析因为a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3
50、e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .答案专项提升测试模拟精选题一、选择题7.在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必通过ABC的()A.垂心 B.内心C.外心 D.重心解析假设BC的中点是O.则22()()22，即()0，所以，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过ABC的外心，选C.答案C8.(2015唐山一中高三期中)若a，b，c均为单位向量，ab，cxayb(x，yR)，则xy的最大值是()A.2 B. C. D.1解析由cc(xayb)(xayb)x2y2xy1，得(xy)213xy3即(xy)24，故(xy)max2.答案A9.(2014辽宁大连检
51、测)已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)2x33|a|x26abx5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析设向量a，b的夹角为，因为f(x)2x33|a|x26abx5，所以f(x)6x26|a|x6ab，又函数f(x)在R上单调递减，所以f(x)0在R上恒成立，所以36|a|24(6)(6ab)0，解得ab|a|2，因为ab|a|b|cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得cos ，因为0，所以向量a，b的夹角的取值范围是，故选D.答案D二、解答题10.(2015山西大学附中月考)已知向量a(s
52、in ，cos 2sin )，b(1，2).(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|，0，求的值.解(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25，从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin，又由0知，2，所以2或2.因此或.创新导向题利用数量积求向量夹角11.若|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a，b的夹角为()A.45 B.60 C.120 D.135解析设a，b的夹角为(0，180)，则由a(ab)得a(ab)0，则a
53、2ab0，所以|a|2|a|b|cos 0，所以cos ，故45.答案A利用数量积求向量的模12.已知平面向量a，b满足|a|b|ab|2，则|2ba|_.解析因为|a|b|ab|2，所以a，b，ab组成等边三角形，且a与b的夹角为，则|2ba|216422412，所以|2ba|2.答案2第三节数系的扩充与复数的引入1.(2016新课标全国，2)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A.3 B.2 C.2 D.3解析(12i)(ai)a2(2a1)i，a22a1，解得a3，故选A.答案A2.(2016新课标全国，2)设复数z满足zi3i，则()A.12i B.12i C.
54、32i D.32i解析由zi3i，得z32i，32i，故选C.答案C3.(2016新课标全国，2)若z43i，则()A.1 B.1C.i D.i解析z43i，|z|5，i.答案D4.(2015新课标全国，3)已知复数z满足(z1)i1i，则z()A.2i B.2i C.2i D.2i解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.答案C5.(2015新课标全国，2)若a为实数，且3i，则a()A.4 B.3 C.3 D.4解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4.故选D.答案D6.(2014新课标全国，3)设zi，则|z|()A. B. C.
55、 D.2解析iiii，则|z|，选B.答案B7.(2014新课标全国，2)()A.12i B.12i C.12i D.12i解析12i，故选B.答案B8.(2012新课标全国，2)复数z的共轭复数是()A.2i B.2i C.1i D.1i解析z1i，所以1i，故选D.答案D1.(2015福建，1)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2 B.3，2 C.3，3 D.1，4解析(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选A.答案A2.(2015湖北，1)i为虚数单位，i607()A.i B.i C.1 D.1解析法一i607i41513i3i
56、.故选B.法二i607i.故选B.答案B3.(2014山东，1)已知a，bR，i是虚数单位.若ai2bi，则(abi)2()A.34i B.34i C.43i D.43i解析由ai2bi可得a2，b1，则(abi)2(2i)234i.答案A4.(2014重庆，1)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析实部为2，虚部为1的复数为2i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.答案B5.(2015北京，9)复数i(1i)的实部为_.解析i(1i)ii21i，实部为1.答案16.(2015重庆，11)复数(12i)i的实部为_.解析(
57、12i)ii2i22i，其实部为2.答案27.(2015江苏，3)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_.解析z234i，|z|2|34i|5，即|z|.答案8.(2016四川，1)设i为虚数单位，则复数(1i)2()A.0 B.2 C.2i D.22i解析(1i)212i22i112i2i.答案C9.(2016北京，2)复数()A.i B.1i C.i D.1i解析i.答案A10.(2016山东，2)若复数z，其中i为虚数单位，则()A.1i B.1i C.1i D.1i解析z1i，1i，故选B.答案B11.(2015山东，2)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A.1i
58、 B.1i C.1i D.1i解析i，i(1i)ii21i，z1i.答案A12.(2015安徽，1)设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)()A.33i B.13i C.3i D.1i解析(1i)(12i)12ii2i21i23i，故选C.答案C13.(2015湖南，1)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A.1i B.1i C.1i D.1i解析由1i知，z1i.故选D.答案D14.(2014安徽，1)设i是虚数单位，复数i3()A.i B.i C.1 D.1解析i3ii(1i)1.答案D15.(2014福建，2)复数(32i)i等于()A.23i B.23i C.23i D.23i解析
59、复数z(32i)i23i，故选B.答案B16.(2014湖北，2)i为虚数单位，()A.1 B.1 C.i D.i解析1，选B.答案B17.(2014广东，2)已知复数z满足(34i)z25，则z()A.34i B.34i C.34i D.34i解析由(34i)z25z34i，选D.答案D18.(2015天津，9)i是虚数单位，计算的结果为_.解析i.答案i19.(2014浙江，11)已知i是虚数单位，计算_.解析.答案20.(2014四川，12)复数_.解析2i.答案2i1.复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b0，则abi为实数；若b0，则abi为
60、虚数；若a0，b0，则abi为纯虚数.2.复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).3.共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd0(a，b，c，dR).4.复数的模向量的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.5.复数的几何表示一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小.(1)复数zabi(a，bR)，若z1，则ab_.解析由z1知，zR，且a1，b0.所以aba01.答案1复数有关概念的三个误区：纯虚数；虚部；共轭复数.(2)已知复数zm21(m1)i是纯虚数，则实数m_.解析由得m1.答案1(3)复数25i的虚部为_.解析25i的
61、虚部为5.答案5(4)复数34i的共轭复数是_.解析34i的共轭复数是34i.答案34i1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有：z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3).2.复数的代数运算(1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大，却是热点内容，
62、我们必须熟练地掌握其运算法则.(2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适用于复数.复数代数形式运算的关键：除法运算.(5)复数相除，分子分母同乘以分母的共轭复数，实际上是分母实数化的过程i为虚数单位，_.解析i.答案i 突破复数概念的解题方法复数相关概念与运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.(2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题，只需把复数化为abi(a，bR)的形式，列出实部和虚部满足的方程(
63、不等式)组即可.(3)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.【例1】 (1)(2016山东青岛模拟)已知1bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|abi|()A.3 B.2 C.5 D.(2)(2016广东汕头模拟)已知集合A1，2z2，zi，B2，4，i为虚数单位，若AB2，则纯虚数z为()A.i B.i C.2i D.2i解析(1)由1bi可得a1b(1b)i，所以解得a2，b1，所以|abi|2i|，故选D.(2)A1，2z2，zi，B2，4，且AB2.2z22或zi2.解得z1(舍去)或z2i(此时2z284).则纯虚数z为2i，故选D.答案(1)D(
64、2)D点评应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等. 复数的运算求解方略复数四则运算的解题方法复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1i)22i；i；i.(2)baii(abi).(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.【例2】 (1)(2016陕西八校联考)已知i是虚数单位，则()A. B. C. D.(2)已知复数z，是z的
65、共轭复数，z_.解析(1)，故选C.(2)zi，故i，z.答案(1)C(2)点评在运算中，不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2C，zz0，并不能推出z1z20. 复数的几何意义解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【例3】 (1)(2016重庆巴蜀中学诊断)已知i为虚数单位，若12i，则复数z所对应的点所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
66、限(2)(2016云南统考)设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z132i，则z1z2()A.512i B.512iC.1312i D.1312i解析(1)z.0，0，所以复数z所对应的点在第二象限，故选B.(2)z132i，则z232i，所以z1z2(32i)(32i)512i，故选A.答案(1)B(2)A点评要掌握复数的几何意义首先要搞清楚复数，复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征.解决复数问题的实数化思想【示例】 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.解设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a，xy
67、a2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或方法点评(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x，y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，3，5，能力题10.专项基础测试模拟精选题一、选择题1.(2016四川宜宾第一次适应性测试)若复数z，则|z|()A.1 B. C. D.3解析zi，|z|.答案C2.(2016
68、长春市质检三)设复数z1i(i为虚数单位)，则z2()A.1i B.1iC.1i D.1i解析z1i，z2(1i)21i2i1i.答案A3.(2015湖南十二校联考)复数(i是虚数单位)的共轭复数为()A.i B.iC.i D.i解析由题意知，ii，其共轭复数为i.答案D4.(2015郑州模拟)设i是虚数单位，复数对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由得，其对应的点在第一象限.故选A.答案A5.(2014成都质检)设a是实数，且是实数，则a()A. B.1 C. D.2解析i，22a0，a1，选B.答案B二、填空题6.(2015河南六市联考)已知复数z满足(1
69、i)z1i(i是虚数单位)，则|z|_.解析z，|z|.答案创新导向题复数的运算问题7.已知复数z满足zi2i，i为虚数单位，则复数z为()A.12i B.12iC.2i D.12i解析z12i.答案A复数的有关概念8.已知复数z满足(1i)z(1i)2，则z的共轭复数的虚部为()A.2 B.2 C.1 D.1解析z1i，1i.答案D专项提升测试模拟精选题选择题9.(2015四川省统考)设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则等于()A.12i B.2i C.12i D.12i解析z1i，1i，12i.答案C10.(2015潍坊一模)若复数z满足z(1i)2i，则在复平面内z对应的点的
70、坐标是()A.(1，1) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)解析由z(1i)2i，可得z1i，所以z对应的点的坐标是(1，1).答案A11.(2016江西九校联考)若复数(1mi)(3i)(i是虚数单位，m是实数)是纯虚数，则复数的模等于()A.2 B.3 C. D.解析因为(1mi)(3i)3m(3m1)i是纯虚数，所以3m0且3m10，得m3，故复数的模为|，选择D.答案D12.(2014河南调研)复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是()A.1，1 B.C. D.解析由z1z2，得m2cos ，4m23sin ，得44cos23sin 4sin23sin ，由sin 1，1，得.答案C创新导向题复数的几何意义13.在复平面内，复数z(其中i为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析z12i，故复数z对应的点位于第一象限.答案A复数的有关概念问题14.已知z为纯虚数，且(2i)z1ai3(i为虚数单位)，则|az|()A.1 B. C.2 D.解析设zbi(bR)，则(2i)bi1ai3，即b2bi1ai，所以a2，b1，则|abi|.答案D