1、 高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 3 页）合肥市 2021 年高三第一次教学质量检测 数学(文)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.2 14.15.22 16.213 三、解答题：17.(本小题满分12 分)解：(1)由已知3575231aaa，解得112ad，21nan.5 分(2)1212222 naaannSaaa 1212222 naaanaaa 2 14121214nnn 21222.3nn 12 分 18.(本小题满分12 分)解：(1)由样本统计数据可知，样本中男
2、生180 人，其中“握笔姿势正确”的有24 人；女生120 人，其中“握笔姿势正确”的有30 人，从而估计该地区初中毕业生中男生、女生“握笔姿势正确”的概率分别为 215 和14.4 分(2)由列联表计算得 22300156 3024 906.6406.63554 246 180 120K，所以，有99%的把握认为该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关.8 分(3)由(2)结论知，该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关。此外，从样本数据能够看出，该地区初中毕业生中，男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异，因此，在调查时，男生和女生应该分成两层，采用分层抽样的方法更好.12 分
3、 19.(本小题满分12 分)解：(1)点FG，分别为 ABAC，的中点，FG BC.FG 平面PBC，BC 平面PBC，FG 平面PBC.延长FG 交CD 于点H，连接EH.GH BC，AD BC，GH AD.G 是 AC 的中点，H 是CD 的中点.E 是PD 的中点，EH PC.EH 平面PBC，PC 平面PBC，EH 平面PBC.又EHFG，平面EFG，且EHFGH，平面EFG 平面PBC.6 分(2)设点F 与平面 AEG 的距离为d，取 AD 的中点O，连接OEOG，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C B B A D C C D C 男
4、 女总计握笔姿势正确 24 3054握笔姿势不正确 156 90246总计 180 120300 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 3 页）则EO PA，GO CD，且12EOPA，12GOCD.PA 平面 ABCD，EO 平面 ABCD.由FAEGEAFGVV三棱锥三棱锥得1133AEGAFGSdSEO，即AEGAFGSdSEO.在 AEG中，2AEAGGE，从而32AEGS.又1EO ，114AFGABCSS，2 33d.点F 与平面 AEG 的距离为 2 33.12 分 20.(本小题满分12 分)解:(1)由条件，设直线l 的方程为1xty，代入22yx得2220yty，则22
5、22148212ABtttt.由2 2AB，解得0t，交点A,B 的坐标为12，,12，-.易知 AOB外接圆的圆心在x 轴上，设圆心为(a，0).由22212aa解得32a，AOB外接圆的方程为223924xy.6 分(2)设 A(11xy，)，B(22xy，)，则 A(11xy，).由(1)知，122yyt，122y y .设直线 A B的方程为xmyn，代入22yx得，2220ymyn，则122yyn，22n ，即1n ，直线 A B经过定点(-1，0)12 分 21.(本小题满分12 分)解：(1)2lnxabfxxxx，由条件 111faba ，解得0b.此时，切点为(1，0)，直线
6、1yaxa不经过切点，符合题意，所以0b.4 分(2)由(1)知，ln1afxxx.设 ln+1ag xxx，则 221axagxxxx(0 x).当0a 时，ln1g xx，易知函数有唯一零点1e，且10 xe，0g x；1xe，0g x.此时，f x 仅有一个极小值点，无极大值点；当0a 时，0gx恒成立，g x 在区间上单调递增.又 10g eae，ln()0eg eaeaea，g x 在0 ，上存在唯一零点，从而 f x 仅有一个极小值点，无极大值点；当0a 时，0ga，且当0 xa，时，0gx；当xa，时，0gx.g x 在0a，上单调递减，在a ，上单调递增，且最小值为 ln2g
7、aa.(i)若 0g a，即2ae，此时 0g x 恒成立，f x 无极值点；(ii)若 0g a，即20ae.1a ，且 0g a，110ga，且 g x 在a ，上单调递增，根据零点存在性定理得，g x 在a ，恰有一个零点，从而 f x 在a ，恰有一个极小值点.高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 3 页）考虑 212ln1g aaa.令 212ln10h xxxex，则 2210 xhxx.h x 在20e，上单调递减，2230h xh ee，即 212ln10g aaa.20aa，20g a，0g a，且 g x 在0a，上单调递减，根据零点存在性定理得，g x 在0a，恰有一
8、个零点，从而 f x 在0a，恰有一个极大值点.当20ae时，f x 有且仅有两个极值点.综上，当2ae时，f x 极值点个数为0；当0a 时，f x 极值点个数为1；当20ae时，f x 极值点个数为212 分 22.(本小题满分10 分)解：(1)化简曲线C 参数方程得cos21 sin 22xy，(为参数，且2kkZ，)，消去参数 得曲线C 的普通方程得22411xyx，化成极坐标方程为22cos4sin12kkZ，2211 3sin(2kkZ，).5 分(2)不妨设M(1，)，N(23，)，则1OM，2ON，2222113 393 31 3sin1 3sinsin 2cos2=sin 234423OMON .当且仅当712kkZ时，2211OMON取最大值3 3210 分 23.(本小题满分10 分)解：(1)由 11f 得 21211aa 112211aaa ，或11 212211aaa ，或1 221211.aaa，解得1a 或112a ，a 的取值范围为12，.5 分(2)设2xt(0t).由已知得，对任意0t，使得 0f t 成立.0f t 222224tatatata23120tat.当0t，Ra；当0t，40ta恒成立，即0a.0a，即a 的最小值为0.10 分