1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第十一章计数原理、随机变量及分布列第5课时独立性及二项分布(对应学生用书(理)174176页)考情分析考点新知相互独立事件，n次独立重复试验，二项分布是高考的一个重要考点相互独立事件因其重要性，成为高考常考内容之一了解两个事件相互独立的概念，会求独立事件的概率理解二项分布XB(n，p)的特点，会计算n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，并能解决一些简单的实际问题.1. (选修23P59练习2改编)省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并
2、限定每人喝2瓶则甲喝2瓶合格的x饮料的概率是_答案：0.64解析：记“第一瓶x饮料合格”为事件A1，“第二瓶x饮料合格”为事件A2，A1与A2是相互独立事件，“甲喝2瓶x饮料都合格就是事件A1、A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P(A1A2)P(A1)P(A2)0.80.80.64.2. (选修23P63练习2改编)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为_答案：解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C(0.6)2(10.6).3. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙
3、市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为_答案：0.036解析：设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)0.2，P(B)0.18，则P(AB)P(A)P(B)0.20.180.036.4. (选修23P63练习2改编)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的则3个景区都有部门选择的概率是_答案：解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C
4、3！(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P(A1).5. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是_答案：解析：设A发生概率为P，1(1P)4，P.1. 相互独立事件(1) 对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立(2) 若A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(3) 若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立(4) 若P(AB)P(A)P(B)，则A、
5、B相互独立2. 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk，其中k0，1，2，3，n，q1p.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0由于Cpkqnk恰好是二项展开式(pq)nCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0中的第k1项(k0，1，2，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作XB(n，p)3. “互斥”与“相互独立”的区别与联系相同点不同点都是描绘两个事件间的关系“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生没有影响“互斥”
6、的两个事件可以“独立”，“独立”的两个事件也可“互斥”题型1相互独立事件例1A高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过某中学学生甲参加A高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为，每道程序中得优、良、中的概率分别为p1、p2.(1) 求学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率；(2) 设为学生甲在三道程序中获优的次数，求的分布列解：由题意，得解得p1p2.(1) 设事件A为学生甲不能通过A高
7、校自主招生考试，则P(A).答：学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率为.(2) 由题意知：0，1，2，3.P(0)，P(2)，P(3)，P (i)1，P(1)1P(0)P(2)P(3).故的分布列为0123P有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n1，2，3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关每次抛掷骰子相互独立(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为，求的分布列解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，则P(
8、A).(2) 由题意得，的取值有0，1，2，3，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，即随机变量的概率分布列为0123P题型2独立重复试验与二项分布例2设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3) 记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购
9、买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种(1) CABAB，P(C)P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P()P(B)0.50.40.50.60.5.(2) DAB，P(D)P(AB)P(A)P(B)0.50.40.2，P(D)1P(D)0.8.(3) B(3，0.8)，故的分布列P(0)0.230.008；P(1)C0.80.220.096；P(2)C0.820.20.384；P(3)0.830.512.0123P0.0080.0960.3840.512某中学在高一开设了数学史等4门不
10、同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同(1) 求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；(2) 求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；(3) 设随机变量X为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求X的分布列解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1 . (2) 恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2. (3) X0，1，2，3，则有P ( 0 ) ； P (X 1) ；P (X 2 ) ；P (X 3 ) . X的概率分布表为：X0123P题型3独立性及二项分布的应用例3某商场为促销设计了一个抽奖模
11、型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布解：(1) 设“一次抽奖中奖”为事件A，则P(A).答：一次抽奖中奖的概率为.(2) X可取0，10，20，P(X0)(0.2)20.04，P(X10)C0.80.20.32，P(X20)(0.8)20.64.X的概率分布列为X01020P0.040.320.64甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、a、a(0a1)
12、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.(1) 求的分布列及数学期望；(2) 在概率P(i)(i0、1、2、3)中，若P(1)的值最大，求实数a的取值范围解：(1) P()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0、1、2、3.P(0)CC(1a)2(1a)2；P(1)CC(1a)2CCa(1a)(1a2)；P(2)CCa(1a)CCa2(2aa2)；P(3)CCa2.所以的分布列为0123P(1a)2(1a2)(2aa2)的数学期望为E()0(1a)21(1a2)2(2aa2)3.(2) P(1)P(0)(1a2)(1a)2a(1a)；P(1)P(2)(1a2)(2aa2)；P(1)
13、P(3)(1a2)a2.由和0a1，得0a，即a的取值范围是.1. (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率解：由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X5”， P(X5)， P(A)1P(X5). 这两人的累计得分X3的概率为.2. (201
14、3山东理)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1) 分别求甲队以30，31，32胜利的概率；(2) 若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求乙队得分X的分布列解：(1) 记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)，P(A2)C，P(A3)C.所以，甲队以30、31、32胜利的概率分别是、；(2) 设“乙队以32胜利”为事件A4，
15、由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2).故X的分布列为X0123P3. (2013陕西理)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1) 求观众甲选中3号歌手
16、且观众乙未选中3号歌手的概率；(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列解：(1) 设事件A表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1.所以P(A).因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3.观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X0，P(X0)2.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X1，P(X1)2.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X2，
17、P(X2).当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X3，P(X3)2.X的分布列如下表：X0123P4. (2013南京市、盐城市一模)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”(1) 若P2，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2) 计划在2013年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为，如果E()5，求P2的取值范围解：(1) 可得P(C).(2) 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为PCP2(1P
18、2)PP2P，而B(12，P)，所以E()12P，由E()5，知(P2P)125，解得P21.1. 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立(1) 求4人恰好选择了同一家公园的概率；(2) 设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列解：(1) 设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况事件A所包含的等可能事件的个数为3， P(A).即4人恰好选择了同一家公园的概率为. (2) 设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P(C).
19、4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量X服从二项分布X可取的值为0，1，2，3，4.P(Xi)C， i0，1，2，3，4.X的分布列为：X01234P2. 甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局，现决定各派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5.(1) 不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；(2) 求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率解：(1) 甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有A种，故所求的概率为P1A0.53(10.5)2.(2)
20、 再次出现平局包括00，11，55等6种可能性，故其概率为P2C0.50(10.5)52C0.51(10.5)42C0.55(10.5)02.3. 有一批数量很大的环形灯管，其次品率为20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次求抽查次数的分布列解：抽查次数取15的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率为0.2，取出正品的概率为0.8，前(k1)次取出正品而第k次(k1，2，3，4)取出次品的概率：P(k)0.8k10.2，k1，2，3，4.P(5)0.840.20.85
21、0.4096.所以的概率分布列为：12345P0.20.160.1280.10240.40964. 电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、，记该参加者闯三关所得总分为.(1) 求该参加者有资格闯第三关的概率；(2) 求的分布列和数学期望解：(1) 设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p1，p2，p3，该参加者有资格闯第三关为事件A.则P(A)p1(1p2)(1p1)p2p1p2. (2) 由题意可知，的可能取值为0，
22、3，6，7，10，P(0)(1p1)(1p2)， P(3)p1(1p2)(1p3)(1p1)p2(1p3)，P(6)p1p2(1p3)，P(7)p1(1p2)p3(1p1)p2p3，P(10)p1p2p3， 的分布列为036710p事件的独立性中的注意问题：(1) 事件A与B独立是相互的，表明事件A(事件B)的发生对事件B(事件A)的发生没有产生影响(2) 若事件A、B相互独立，则A与，与B，与也是相互独立的(3) 两个事件的独立性可以推广到n(n2)个事件的独立性，且若事件A1、A2、An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(4) 注意辨别两个事件互斥与两个事件独立的区别欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。