1、 考点一利用正、余弦定理解三角形 例1(1)(2013天津高考)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC()A.B.C.D.(2)(2013安徽高考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a， b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.(3)(2013浙江高考)在ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC_.自主解答(1)由余弦定理可得AC292235，所以AC.再由正弦定理得，所以sin A.(2)由3sin A5sin B，可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t0)，则b3t，c7t，可得cos C，又C(0，)，故C.(3)在ABM中
2、，由正弦定理得，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以a，整理得(3a22c2)20，故sinBAC.答案(1)C(2)(3)【方法规律】正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.解析：选A由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，sin Bsin(AC)sin
3、B.又sin B0，sin(AC)，即sin B，B或.又ab，AB，B.2已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5解析：选D由23cos2Acos 2A0，得25cos2A1，因为A为锐角，所以cos A.又由a2b2c22bccos A，得49b236b，整理得5b212b650，解得b(舍)或b5.即b5.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C
4、1，试判断ABC的形状自主解答(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0c，所以A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，得sin Bsin C.因为0B，0C，故BC，所以ABC是等腰钝角三角形【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断ABC的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2si
5、n Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰或直角三角形【方法规律】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行
6、判断(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选A依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则sin(BC)sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sin(BC)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC为直角三角形高频考点考点三 与三角形面积有关的问题1正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查主要有以下
7、两个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形例3(1)(2013新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22B.1C22 D.1(2)( 2013湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.求角A的大小；若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值自主解答(1)由正弦定理知，结合条件得c2.又sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面积Sbcsin A1.(2)由cos 2A3cos(BC)1，得2co
8、s2 A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.答案(1)B与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1已知a，b，c分别为ABC三
9、个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.2(2013新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(
10、1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B.又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.所以sin Bsin Ccos Bsin C，又C(0，)，所以sin C0，故sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.课堂归纳通法领悟1组关系三角形中的边角关系在ABC中，ABabsin Asin Bcos Acos B.2种途径判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换2个注意点解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解
