1、第6讲正弦定理和余弦定理知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A b2a2c22accos B c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin Ccos A；cos B；cos C解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和
2、其他两角2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aabsin Cacsin B.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半径)辨 析 感 悟1三角形中关系的判断(1)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB.()(2)(教材练习改编)在ABC中，a，b，B45，则A60或120.()2解三角形(3)(2013北京卷改编)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B.()(4)(教材习题改编)在ABC中，a5
3、，c4，cos A，则b6.()3三角形形状的判断(5)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()(6)在ABC中，若b2c2a2，则此三角形是锐角三角形()感悟提升一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B，如(1)判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013湖南卷改编)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于_ (2)(201
4、4杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45，则sin C_.解析(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin Asin Bsin B，B为ABC的内角，sin B0.sin A.又ABC为锐角三角形，A，A.(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B132825，即b5.sin C.答案(1)(2)规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【训练1】 (1)在ABC中，a2，c2，A60，则C_.(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是
5、a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A_.解析(1)由正弦定理，得，解得：sin C，又ca，所以C60，所以C45.(2)sin C2sin B，由正弦定理，得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30.答案(1)45(2)30考点二判断三角形的形状【例2】 (2014临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，
6、cos A，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos B，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC为等边三角形规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响【训练2】 (1)(2013山东省实验中学诊断)在ABC
7、中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC的形状是_三角形(填“直角”、“钝角”或“锐角”等)(2)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC的形状是_三角形(填“锐角”、“直角”、“等腰”或“等腰或直角”)解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形(2)由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2 Bsin Acos Bsin2
8、 Acos Asin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角，故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形答案(1)钝角(2)等腰或直角考点三与三角形面积有关的问题【例3】 (2013浙江卷)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积审题路线(1)把2asin Bb变形为2a利用正弦定理得到sin A？A为锐角，得出A？(2)由(1)知cos A的值利用余弦定理又bc8，求bc的值利用三角形面积公式Sbcsin A求得解(1)由2asi
9、n Bb，得2a，又由正弦定理，得，所以sin A，因为A为锐角，所以A.(2)由(1)及a2b2c22bccos A，得b2c2bc(bc)23bc36，又bc8，所以bc，由Sbcsin A，得ABC的面积为.规律方法 在解决三角形问题中，面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来【训练3】 (2013湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2
10、cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由S bcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin Asin Asin2A.1在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化如a2b2c22bccos A可以转化为sin2 Asin2 Bsin2 C2si
11、n Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明答题模板6解三角形问题【典例】 (13分)(2013重庆卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值规范解答(1)由余弦定理，得cos A.又因为0A，所以A.(4分)(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a，得Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，(6分)因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)(9分)所以，当BC，即B时，S3cos Bc
12、os C取最大值3.(13分)反思感悟 (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围(2)在本题第(2)问中，不会结合正弦定理表达S的角的形式是失分的主要原因【自主体验】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由casin Cccos A及正弦定理，得sin Asin Ccos Asin Csin C0，由于sin C0，所
13、以sin，又0A，所以A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28，解得bc2.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013盐城模拟)在ABC中，若a2c2b2ab，则C_.解析由a2c2b2ab，得cos C，所以C30.答案302(2014合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为_解析SABACsin 602AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案3(2013新课标全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为
14、_解析由正弦定理及已知条件得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案14(2013山东卷改编)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c_.解析由，得，所以，故cos A，又A(0，)，所以A，B，C，c2.答案25(2013陕西卷改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形(填“直角”、“锐角”或“钝角”)解析由正弦定理及已知条件可知sin Bcos Ccos Bsin Csin2 A，即sin(BC)sin2 A，而BCA，所以sin(BC)sin A，
15、所以sin2 Asin A，又0A，sin A0，sin A1，即A.答案直角6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_解析由题意知，sin Bcos B，所以sin，所以B，根据正弦定理可知，可得，所以sin A，又ab，故A.答案7(2014惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或8(2013烟台一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则
16、sin B等于_解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C4，即c2.由cos C得sin C.由正弦定理，得sin B(或者因为c2，所以bc2，即三角形为等腰三角形，所以sin Bsin C)答案二、解答题9(2014扬州质检)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且acbcos C.(1)求角B的大小；(2)若SABC，b，求ac的值解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因为A(BC)，所以sin Asin(BC)，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为SABC
17、，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即ac5.10(2013深圳二模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3，b5，c7.(1)求角C的大小；(2)求sin的值解(1)由余弦定理，得cos C.0C，C.(2)由正弦定理，得sin B，C，B为锐角，cos B.sinsin Bcos cos Bsin .能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014温岭中学模拟)在锐角ABC中，若BC2，sin A，则AA的最大值为_解析由余弦定理，得a2b2c22bc4，由基本不等式可得4bc，即bc3，又sin A
18、，cos A，所以AAbccos Abc1.答案12(2013青岛一中调研)在ABC中，三边长a，b，c满足a3b3c3，那么ABC的形状为_三角形(填“锐角”、“钝角”或“直角”)解析由题意可知ca，cb，即角C最大，所以a3b3aa2bb2ca2cb2，即c3ca2cb2，所以c2a2b2.根据余弦定理，得cos C0，所以0C，即三角形为锐角三角形答案锐角3在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_ .解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2
19、(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0C120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.答案2二、解答题4(2013长沙模拟)在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C(3ac)cos B.(1)求cos B；(2)若BB4，b4，求边a，c的值解(1)由正弦定理和bcos C(3ac)cos B，得sin Bcos C(3sin Asin C)cos B，化简，得sin Bcos Csin Ccos B3sin Acos B，即sin(BC)3sin Acos B，故sin A3sin Acos B，所以cos B.(2)因为BB4，所以BB|B|B|cos B4，所以|B|B|12，即ac12.又因为cos B，整理得，a2c240.联立解得或