1、湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】, 真子集就是比A范围小的集合;故选D;2.已知条件，条件表示焦点在轴上的椭圆，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程得形式可得：当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，反之不一定成立，由充分必要条件的定义即可得到答案.【详解】根据题意，方程，当时，则，其表示焦点在轴上的椭圆，反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，但不一定成立
2、，故条件是条件表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，椭圆的标准方程与性质，属于基础题.3.命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“，”的否定为：，故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4.已知椭圆方程为中，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有( )焦点在轴上，其坐标为；若椭圆上的一点到的距离为，则到的距离为；长轴长为，短轴长为；，A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程以及椭圆的性质逐一判断即可.【
3、详解】由椭圆方程：，则，故正确；由标准方程焦点在轴上，其坐标为，正确；由椭圆的定义可得，正确；长轴长为，短轴长为，故不正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，熟记性质是关键，属于基础题.5.已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：抛物线焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A考点：1椭圆的标准方程与几何性质；2抛物线的标准方程与几何性质6.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【
4、分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属基础题7.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距
5、离与到焦点距离相等”8.已知变量、满足，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先作出约束条件的可行域，再平移目标函数对应的直线即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，为图中的边界及其内部的阴影部分， 当直线过点时，最大，联立，解得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划、数形结合法是解决线性规划问题的常用方法，考查数形结合思想以及分析问题、解决问题的能力.9.设函数f(x)，若f(1)4，则a的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f(1)4，即，解得 故选D【点睛】本题考查
6、了函数的求导，属于基础题.10.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】.所以,由于,所以函数f(x)的图像关于点对称.11.已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有( )A. 条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，；双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了
7、通径的求法，属于基础题.12.已知双曲线 (a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. B. (1,2),C. D. 【答案】A【解析】【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，故选【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件二、填空题13.曲线在点处的
8、切线的倾斜角为_.【答案】45【解析】【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知ky|x1，再结合正切函数的值求出角的值即可【详解】y3x22，切线的斜率k31221故倾斜角为45故答案为45【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题14.若，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系可得，所以，再利用两角和的正切公式将的值代入即可求解.【详解】由，所以，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，需熟记公式，属于基础题.15.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是_.【答案】【解析】
9、【分析】求出椭圆的焦点坐标，得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求出，即可得到双曲线方程.【详解】与椭圆有公共焦点，双曲线的焦点坐标为，双曲线方程的离心率，可得，所以，所以双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质是解题的关键，属于基础题.16.已知是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，在线段上，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是_.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，利用，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的渐近
10、线求法、离心率求法是解决此题的关键，属于基础题.三、解答题17.已知命题，命题（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当命题是用集合表示时，若是充分条件，则表示命题所对应的集合是命题所对应集合的子集，转化为子集问题解决，通过数轴，列不等式组;(2)”为真命题，“”为假命题表示一真一假，所以分两种情况，真代表集合本身，假代表集合的补集，列不等式解决.试题解析：解：（1），,那么解得：(2)根据已知一真一假，真假时，解得，或假真时，解得考点：命题的真假判定与应用18.已知抛物线的焦点
11、与双曲线的一个顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点.（1）求抛物线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得双曲线的右顶点为，即可得到抛物线的焦点，由此能求出抛物线的方程.（2）由题意利用点斜式求出直线的方程：，将直线与抛物线联立，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，进而可求出的面积.【详解】（1）由双曲线的右顶点为，即可得抛物线的焦点，所以抛物线的方程为.（2）由题意可得直线方程：，将直线与抛物线联立，整理可得，设，所以，原点到直线的距离，所以【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线中的面积问题、弦长公式，考
12、查了运算求解能力，属于基础题.19.已知等差数列中，公差，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，令，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）首先利用裂项求和法求出，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题设知：，或，.（2）（当时取等号）【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法、基本不等式求最值，属于基础题.20.已知函数,. （）求的值；（）在中,角的对边分别为，若，的面积是,求的周长.【答案】（）;（）.【解析】试题分析：（）由得一方程，再根据特殊角对应的函数值代入求的值（）先根据两角和正余弦公式及配
13、角公式将函数化为基本三角函数，再根据以及三角形内角范围求角B，选用三角形面积公式，求出值，最后根据余弦定理求出，进而得到的周长.试题解析：（） 解得： （）由（）知， , , ,则 又 ， 的周长为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21.如图，直三棱柱的底面是边长为的正三角形，分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直
14、线与平面所成的角为，求：到的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出平面平面. （2）取的中点，由直线与平面所成的角为，可得，求出棱柱的高，再利用等体法即可求解.【详解】（1）几何体是直棱柱，底面，底面，直三棱锥的底面是边长为的正三角形，是的中点，平面，平面，平面平面. （2）取的中点，连接， 由（1）可知平面 直线与平面所成的角为，即，则 ，设到的距离为，到平面的距离为 ，解得，故到的距离为.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理，要证面面垂直，需证线面垂直；此题考查了等体法求点到面的距离，属于中档
15、题.22.如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）（i）证明：；（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；(2）（i）证明见解析；（ii）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意双曲线的，进而可求双曲线的标准方程；椭圆的，由可得，进而可得椭圆的标准方程.（2）（i）设点，利用两点，从而可得，将点代入双曲线方程即可证出；（ii）假设存在常数，使得恒成立，由（i）设直线的方程为，进而求出直线的方程，把直线代入椭圆方程，利用弦长公式求出， 同理求出弦长，代入整理即可求出的值【详解】（1）由题意知，双曲线的，方程为：椭圆：，即.于是椭圆方程为；（2）（i）设点，则，则；而由点在双曲线上，可知，即有；从而，故.（ii）假设存在常数，使得恒成立.则由（i）知，所以可设直线的方程为，直线的方程为；把直线的方程为代入椭圆方程，整理得；若设，则有，；因此；同理可得；因此由知.所以存在常数，使得恒成立.【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题、弦长公式，考查了考生的运算求解能力，属于难题.