1、本章整合知识网络专题探究专题一、轨迹问题【例1】 已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程思路分析：先根据椭圆的定义列出关系式，再将其坐标化即可解：|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支又c7，a1，b248，故点F的轨迹方程是y21(y1)【例2】 已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，试确定动圆圆心E的轨迹思路分析：先利用两圆内切和外切表示圆心距，再利用双曲线定义求解解：设
2、动圆E的半径为r，则由已知|AE|r，|BE|r，所以|AE|BE|2.又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2|AB|.根据双曲线的定义知，点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支【互动探究】 若例2条件“与圆B：(x4)2y22内切”改为“与圆B：(x4)2y24外切”则结论如何？解：设动圆E的半径为r，|EB|EA|2|AB|8，点E的轨迹为双曲线的一支【例3】 过双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程思路分析：先找到P点和Q点坐标之间的关系，再利用Q点坐标满足双曲线方程，间接求得P点的轨迹解：设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(
3、x1，y1)，则点N的坐标为(2xx1,2yy1)因为点N在直线xy2上，所以2xx12yy12.又因为PQ垂直于直线xy2，所以1，即xyy1x10.联立解得又点Q在双曲线x2y21上，所以xy1，将代入，得动点P的轨迹方程是2x22y22x2y10.专题二、离心率问题【例4】 椭圆1(ab0)的焦距为2c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率等于()A. B. C.1 D.1解析：当xc时，由1，得y.又交点在y2x上，交点坐标为.2ca.21，即e22e10，解得e1.0e1，e1.答案：D【例5】 点P是双曲线1(a0，b0)和圆x2y2a2b2的一个交点，且2P
4、F1F2PF2F1，其中F1和F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为_解析：由圆x2y2a2b2，得x2y2c2，圆过焦点F1和F2.F1PF290.又2PF1F2PF2F1，PF1F230，PF2F160.如图所示于是|PF2|=c，|PF1|=c. 由双曲线的定义，有c-c=2a，e=.答案：+1【例6】 已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，试求此双曲线离心率的取值范围解：设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k，则k，即，e211()24，e2，即此双曲线离心率的取值范围为2，)专题三、与圆锥曲线有关的最值问题与圆锥曲线
5、有关的最值问题，大都是些综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数【例7】 已知F1，F2为椭圆x21的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求ABF2面积的最大值思路分析：ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的，因此可构建以k为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值解：由题意，知|F1F2|2.经分析，当直线AB的斜率不存在时，不满足题意故设直
6、线AB的方程为ykx1，代入椭圆的方程2x2y22，得(k22)x22kx10，则xAxB，xAxB，|xAxB|.|F1F2|xAxB|2222.当，即k0时，ABF2的面积最大，为.【例8】 已知点A(4，2)，F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|MF|取最小值时，点M的坐标为()A(0,0) B(1，2)C(2，2) D.解析：如图，过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为E.由抛物线的定义知|MF|ME|.当点M在抛物线上移动时，|ME|MA|的值在变化，显然当M移到M时，A，M，E三点共线，|ME|MA|最小，此时AMOx.把y2代入y28x，得x，所以M的坐标为，故
7、选D.答案：D【例9】 设F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，那么|PF1|PF2|的最大值为_解析：根据基本不等式“(a0，b0)”的变形“ab2”，得|PF1|PF2|22a2，当且仅当|PF1|PF2|，即P是短轴端点时，取等号所以|PF1|PF2|的最大值为a2.答案：a2【例10】 长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为_解析：如图，抛物线y22x的准线为l：x，过A，B，M分别作AA，BB，MM垂直于l，垂足分别为A，B，M.由抛物线定义，知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3.x1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”)x最小值为1，即M点到y轴的最短距离为1.答案：1