1、高二数学（理科）第 1 页 总 4 页绝密启用前蚌埠第三中学 2020-2021 学年度 第二学期 教学质量检测 2021.02 2022 届 高二年级 数学试题（理科）【注意事项】1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共 12 题，每题 5
2、 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1命题:0,1xpxa ，则p（）A0,1xxa B0,1xxa C0,1xxa D0,1xxa 2若直线3yx=+经过抛物线2ymx=的焦点，则m=（）A6B12C-6D-123已知一个几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图如图 2 所示，则此几何体的体积为（）A1B2C2D224已知直线 1:210lxay+=，与()2:2110laxay=平行，则a 的值是（）A0 或 1B1 或 14C0 或 14D 145已知双曲线22221(0,0)xyabab=与抛物线28yx=有一
3、个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若5PF=，则双曲线的渐近线方程为（）A30 xy=B30 xy=C20 xy=D20 xy=6已知,是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m的一个充分条件是()Amn，n B/m，Cn，n，mDn=，mn高二数学（理科）第 2 页 总 4 页7已知命题“xR，使212(1)02xax+”是假命题，则实数a 的取值范围是()A(,1)B(1,3)C(3,)+D(3,1)8如图所示，在平行六面体1111ABCDABC D中，M 为11AC 与11B D 的交点，若 ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与 BM 相等的向量是（）A1122+
4、abcB 1122abc+C1122abc+D 1122abc+9过点()3,3M 且互相垂直的两直线与圆224210 xyy+=分别相交于 A，B 和 C，D，若ABCD=，则四边形 ACBD的面积等于（）A20B30C40D6010在底面为正方形的四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，PAAD，PAAD=，则异面直线 PB 与 AC 所成的角为（）A 30B 45C60D9011已知椭圆22221(0)xyabab+=，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线l 交椭圆于A，B 两点，且 AB 的中点为()2,1M，则椭圆的离心率为（）A22B 12C 14D
5、3212已知正三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B 的面积为 4，则正三棱柱111ABCABC外接球表面积的最小值为（）A 2 33B 4 33C 8 33D16 33二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知两点(3,1,)Pa，(3,2)Qb关于坐标平面 xoy 对称，则 a b+=_.14已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R=，圆锥的高是底面半径的 2 倍，则圆锥的侧面积为_.15四棱锥 PABCD中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且1PD=，3AB=，G 是ABC 的重心，则 PG 与面 PAB
6、所成角 的正弦值为_.高二数学（理科）第 3 页 总 4 页16已知 F 是抛物线()220ypx p=的焦点，A，B 是抛物线上两点，A 在第一象限，B 在第四象限，满足4AFFB=，则直线 AB 的斜率为_三、解答题：本题共 6 道题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题 p：实数 m 满足的方程221(0)34xyamama+=表示双曲线，命题 q：实数 m 满足的方程21xm 22ym1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围18已知圆 C 经过点 A(0，
7、2)和 B(2，2)，且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上.（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 m 过点(1，4)，且被圆 C 截得的弦长为 6，求直线 m 的方程.19如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是直角梯形，/,ADBC ABAD，222ADABBC=，PCD是正三角形，,PCAC E是 PA 的中点（1）证明：ACPD；（2）求三棱锥 PBDE的体积高二数学（理科）第 4 页 总 4 页20已知动点 P 是PMN 的顶点，M（2，0），N（2，0），直线 PM，PN 的斜率之积为34 （1）求点 P 的轨迹 E 的方程；（2）设四边形 ABCD 的顶点都在曲线 E
8、上，且 ABCD，直线 AB，CD 分别过点（1，0），（1，0），求四边形 ABCD 的面积为 2427时，直线 AB 的方程21如图所示，在多面体 ABCDE 中，/DE AB，ACBC，平面 DAC 平面 ABC，24BCAC=，2ABDE=，DADC=，点 F 为 BC 的中点（1）证明：EF 平面 ABC；（2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60，求平面 DCE 与平面 ADC所成的锐二面角的余弦值22已知直线2yx=与抛物线22ypx=相交于 A，B 两点，满足OAOB.定点(4,2)C，(4,0)D，点 M 是抛物线上一动点，设直线CM，DM 与抛物线的另一个交点分别
9、是 E，F.（1）求抛物线的方程；（2）探究：当点在抛物线上变动时(只要点 E，F 存在且不重合)，直线 EF 是否恒过一个定点？若存在求出这个定点的坐标.若不存在说明理由.高二数学（理科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案BDBCBCBACCAD二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）.13-114151616 5103043三、解答题：17（本题满分 10 分）（1）若命题为真，即方程表示双曲线，p221(0)34xyamama所以，解得，即.340mama34ama3,4maa（2）若命题 为真，即1 表示焦点在 y 轴上的椭圆成立
10、，q21xm 22ym则，解得，记 B=.210mm 312m3(1,)2由(1)知，记 A=，3,4aa因为是 的充分不必要条件，所以是的真子集，pqAB故或，解得.所以实数的取值范围为.31342aa31342aa1338aa1338a18（本题满分 12 分）（1）因为圆心 C 在直线 l:x-y10 上.设圆心为：,1a a 又圆 C 经过点 A(0，2)和 B2，2，所以，2222123aaaa解得，3a 所以圆心为，3,2222125raa所以圆的方程为：；223225xy（2）若直线 m 的斜率不存在时,方程为 x=1,被圆 C 截得的弦长为，符合，2 25166若直线 m 的斜
11、率存在时,方程为，即，41yk x40kxyk圆心到直线的距离为：，2425941kxykk解得，512k 所以直线方程为，512430 xy综上：直线 m 的方程为 x=1 或.512430 xy19（本题满分 12 分）（1）证明：，/,ADBC ABAD090ABCBAD，1ABBC045,2CADAC由余弦定理得：，2222cos2CDACADAC ADCAD，2224ACCDADACCD，平面，PCACAC PCD；ACPD（2）连接，由（1）得平面，CEAC PCD2CD 是的中点，EPA/ADBC1122P BDEP CDEC PDEC ADPA CDPVVVVV21136664
12、12CDPSACCDAC20（本题满分 12 分）解：（1）设点 P(x，y)，直线 PM 与 PN 的斜率之积为，34即，化简得（x2），22yyxx224yx 3422143xy动点 P 的轨迹 E 的方程为(x2)；22143xy（2）设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由221143xmyxy得(3m2+4)y26my90，则，y1+y2，0 2634mm 122934y ym|y1y2|，212124yyy y2212 134mm|AB|，2121my y2212 134mm又原点 O 到直线 AB 的距离 d，211mSABO，2212 1m123
13、m4211m226 134mm由图形的对称性可知，SABCD4SABO，SABCD，化简得 18m4m2170，2224 134mm2427解得 m21，即 m1，直线 AB 的方程为 xy1，即 xy+1021（本题满分 12 分）（1）证明：取的中点，连接，如图所示：ACODOOF在中，DACDADCDOAC平面平面，且平面平面=，DAC ABCDAC ABCAC平面，DO ABC，分别为，的中点，OFACBC，且，/OF AB2ABOF又，/DE AB2ABDE，/OFDEOFDE，四边形为平行四边形，DEFO/EF DO平面；EF ABC（2）平面，DO ABCBC，又，DO DOAO
14、ACBC以为原点，为轴，过点与平行的直线为轴，为轴，建立如图所示OOAxOCByODz的空间直角坐标系，点为的中点，24BCAC2ABDEDADCFBC，(1,0,0)A(1,0,0)C(1,4,0)B 平面，直线与平面所成角为，EF ABCBEABC60EBF，tan602 3DOEFBF，(0,0,2 3)D(1,2,2 3)E 取平面的一个法向量，ADC(0,1,0)m 设平面的一个法向量，DCE(,)nx y z，(1,0,2 3)CD(0,2,2 3)CE 则，取，得，2 3022 30n CDxzn CEyz 1z(2 3,3,1)n ，222|(2 3)(3)14n|1m 3m
15、n ，33cos,|1 44m nm nmn 设平面与平面所成的锐二面角为，DCEADC则，3cos|cos,|4m n 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为DCEADC3422（本题满分 12 分）（1）设，将代入化简得1122(,),(,)A x yB xy2yx22ypx2(42)40 xp x，则，1242xxp124x x 由得：，所以OAOB12120 xxyy，121212121212(2)(2)22()482(42)40 x xy yx xxxx xxxp得，则抛物线的方程为：1p 22yx（2）设点，的坐标分别是，MEF200,2yy211,2yy222,2yy由，三点共线知CME010282yyy同理由，共线得DMF208yy直线的方程为，化简得EF212112212()222yyyyyxyy12122y yy yyx将，代入直线的方程得：010282yyy208yyEF20(22)4(4)8(28)0 xyyxy所以解得：，直线恒过定点4xyEF(4,4)