1、上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期高三数学期中考试卷（理） （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1. 方程的解为_.【答案】【KS5U解析】因为。2. 已知一个扇形的周长为20cm，则此扇形的面积的最大值为_cm2. 【答案】25【KS5U解析】因为扇形的周长为20cm，所以，扇形的面积为，当且仅当时取等号。所以此扇形的面积的最大值为25cm2.3. 函数的单调递增区间是_.【答案】【KS5U解析】由，所以函数的单调递增区间是。4. 函数的反函数是_.【答案】【KS5U解析】由得：-1y0，且，所以函数的反
2、函数是。5. 若实数满足，且，则的值为 . 【答案】【KS5U解析】因为，所以，又，所以，解得：。6. 使不等式成立的实数a的范围是 . 【答案】【KS5U解析】因为，所以，解得实数a的范围是。7. 在ABC中,锐角B所对的边长,ABC的面积为10，外接圆半径, 则ABC的周长为_.【答案】10+10【KS5U解析】因为,外接圆半径,所以由正弦定理得：，所以。因为ABC的面积为，所以。在ABC中，由余弦定理得：，所以。所以ABC的周长为10+10。8. 已知,且,则的最小值为_.【答案】16【KS5U解析】由得：，又因为，所以，当且仅当时取等号。9. 数列（）满足，则=_.【答案】【KS5U解
3、析】因为，所以由，得。又，所以。10. 等差数列中，公差，则_.【答案】80【KS5U解析】因为，所以，所以。11. 若存在实数满足，则实数a的取值范围是_.【答案】【KS5U解析】由得：，若存在实数满足，只需，又时，所以实数a的取值范围是。12. 已知函数的图像过点（2,1），的反函数为，则的值域为_. 【答案】【KS5U解析】因为函数的图像过点（2,1），所以，所以，所以，所以，令，则，易知函数的值域为，所以函数的值域为。13. 我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆
4、称之为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_.【答案】【KS5U解析】当，时，其图形为：显然圆心C(0,-1)，由图知，当圆C与“囧眉毛”相切时，圆面积最小。在上任取一点P(x,y)，则，把代入得，令，化简得：，所以面积最小值为。14. 开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，则在这个红色子数列中，由1开始的第20
5、11个数是_.【答案】3959【KS5U解析】首先分组，第一组一个数，第二组两个数，。所以前n组共有个数，因此第2011个数是第63组的第58个数。我们观察没组数的最后一个数，发现：第一组是1，第二组是4，第三组是9，第四组是16，所以第63组的最后一个数为，又第63组为奇数组，所以第63组的第58个数是3959.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15. 已知的三边分别为，满足，则此三角形的形状是（）A等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【KS5U解析】因为，所以由正弦定理得：，即，因此选C。16. 定义在R上的偶函数满足，且在-3，-2上
6、单调递减，是锐角三角形的两内角，那么（ ）A B. C. D. 【答案】C【KS5U解析】因为，所以函数的周期为2，又在-3，-2上单调递减，所以在-1，0上单调递减，因为是偶函数，所以函数在0，1上单调递增。因为是锐角三角形的两内角，所以，所以，所以，因此选C。17. 实数满足且，由、按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列；B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列；C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列；D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列；【答案】B【KS5U解析】（1）若ab0，则有，若能构成等差数列，则，即此时无法构成等差数列；若能构成等比数列，则，即此时
7、无法构成等比数列。（2）若ba0，则有，若能够成等差数列，则，当b=9a时，这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列于是b=9a0，满足题意，但此时，不可能相等，故仍无法构成等比数列。故选B。18. 若实数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】B【KS5U解析】（1）若数列是递增数列，则数列不一定是递增数列，如当时，数列是递减数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数，错误。由数列是递增数列不能得出
8、数列的各项均为正数，例如0,1,2,3，满足数列是递增数列，但不能满足数列的各项均为正数；（3）若是等比数列，则可得到数列的公比为-1，故有；由可得到数列的公比为-1，所以可得，因此此命题正确。因此答案选B。三、解答题：（本大题共5题，74分）19. （本小题满分12分）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，已知：，满足，且是的充分条件，求实数p的取值范围.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其图象过点（，）（1）的值；（2）函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在0, 上的最大值和最小值21. （
9、本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0），（1）若函数f(x)满足恒成立，且，求使不等式成立的的取值范围；（2）已知函数g(x)=-x2-3，且f(x)+g(x)为奇函数若当x-1，2时，f(x)的最小值为1，求f(x)的表达式22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知关于x的不等式，（1）若不等式的解集为，求实数k的值；（2）若不等式对一切都成立，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集为的子集，求实数k的取值范围。23. (本题满分18分) 本题共有
10、3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的, 有成立. 下面尝试推广该命题: （1） 设由三项组成的数列每项均非零, 且对任意的有成立, 求所有满足条件的数列;（2）设数列每项均非零, 且对任意的有成立, 数列的前项和为. 求证: , ;（3）是否存在满足(2)中条件的无穷数列, 使得? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.参考答案：1.设集合Axx 22x0，xR，则集合AZ中有_个元素32.方程的解为_.3.集合A=，集合B=，则实数的取值范围是_.4.函数的单调递增区间是_.5 .函数的反函数是_.6
11、.已知函数，则实数的值为_.27.已知一个扇形的圆心角的弧度数是1弧度，半径为1cm，则此扇形的周长为_cm. 38.在ABC中,锐角B所对的边长,ABC的面积为10，外接圆半径, 则ABC的周长为_10+109.已知,且,则的最小值为_.1610.数列（）的通项公式，=_.11.等差数列中，公差，则=_.8012.若存在实数满足，则实数a的取值范围是_.13.已知函数的图像过点（2,1），则的值域为_. 2，514.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16
12、；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_3959二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.已知的三边分别为，满足，则此三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形16.定义在R上的偶函数满足，且在-3，-2上单调递减，是锐角三角形的两内角，那么（ ）A B. C. D. 17.实数满足且，由、按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列；B. 可能是等差数列，但不可
13、能是等比数列；C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列；D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列；18.若数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（ ）三、解答题：（本大题共5题，74分）19.（本小题满分12分）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，已知：，满足，且是的充分条件，求实数p的取值范围.解：依题意，得A=，B=(0,3于是可得=（2,3.6分设集合C=x|2x+p0，则因为是的充分条件，所以，所以3，即p-6.故实数p的取值范围是
14、.6分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知0时，原不等式即为，原不等式的解为或；当-2m0时，原不等式的解为；当m=-2时，原不等式为，原不等式无解；当m-2时，原不等式的解为.22.(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（1） 若函数为“1性质函数”，求；（2） 判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（3） 若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；解：（1）由得，.2分，。 .4分（2）若存在满足条件，则即，
15、.7分，方程无实数根，与假设矛盾。不能为“k性质函数”。 .10分（3）由条件得：，.11分即（，化简得， .12分当时，； . 13分当时，由，即，。 . 15分综上，。 .16分2 3.(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的, 有成立. 下面尝试推广该命题: （2） 设由三项组成的数列每项均非零, 且对任意的有成立, 求所有满足条件的数列;（2）设数列每项均非零, 且对任意的有成立, 数列的前项和为. 求证: , ;（3）是否存在满足(2)中条件的无穷数列, 使得? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.解：（1） 取, 有, 又, 所以. (2分)取, 有, 于是, 又, 所以或2. (4分)取, 有.当时, , 又, 所以. 当时, , 整理得, , 所以或. 综上, 所有满足条件的数列为. (6分)（2）由已知, , 用替换, 得到.两式相减, 有 (9分) .因, 所以, . (12分)（3）存在. 是一个满足条件的无穷数列. (18分)注: 满足(2)中条件的数列递推式为或, 所以符合的数列前2012项必须为, 之后的项只需满足递推式即可, 但要注意不能出现值为0的项.