1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质目标定位1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.自 主 预 习1.杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2.二项式系数的性质对称性在(ab)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐增大的；当k时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数C，最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数C，
2、C相等，且同时取得最大值各二项式系数的和CCCC2nCCCCCC2n1即 时 自 测1.思考题(1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n1行对应数值相等.(2)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项), 但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.2.在(1x)n(nN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n
3、等于()A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意，展开式中只有第6项系数最大，所以展开式中共11项，n10.答案C3.(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A.n，n1 B.n1，nC.n1，n2 D.n2，n3解析(1x)2n1展开式有2n2项.系数最大的项是中间两项，是第n1项与第n2项，它们的二项式系数为C与C.答案C4.若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为_.解析由题意，C15，解得n6，则展开式中所有项系数之和为.答案类型一与杨辉三角有关的问题【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：
4、1，2，3，3，6，4，10，5，记其前n项和为Sn，求S19的值.解由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)CCCCCCCCCCC1CC1C274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.【训练1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.第0行1第1行11第2行12
5、1第3行1331第4行14641第5行15101051解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为23，则CC23.3C2C，即，得：，n34.答案34类型二二项展开式的系数和问题【例2】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求下列各式的值.(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a71.令x1，则a0a1a2a737.(1)令x0，得a01，代入中得：a1a2a3a72.(2)由得2a12a32a52a7137，a1a3a5a71 094.(3)由得2a02a22a42a6137，a0a2a4a
6、61 093.(4)法一(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.法二|a0|a1|a2|a7|是(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a7|372 187.规律方法赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.一般地，对于多项式f(x)a0a1xa2x2anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1
7、)，a0f(0).【训练2】 设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.解(1)由(2x)100展开式中的常数项为C2100，即a02100.或令x0，则展开式可化为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，与联立相减可得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a10
8、0)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.类型三二项式系数性质的综合应用(互动探究)【例3】 已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.思路探究探究点一二项式展开式中各项系数之和与x的取值有何关系？提示当x1时，二项式展开式即为各项系数之和.探究点二系数最大的项与二项式系数最大项相同吗？提示不相同.二项式系数最大的项，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 而系数最大项不仅与各项的项数有关，而且也与两项的值有关.探究点三求二项式中
9、系数问题的关键是什么？提示关键是分清二项式系数与项的系数，注意n的奇偶，正确运用二项展开式的通项公式解(1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r).假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C34x405x.规律方法(1
10、)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a、bR)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项.【训练3】已知(1x2)2n的展开式的系数和比(3x1)n的展开式的系数和大992，求(2x)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.解由题意得22n2n992，解得n5.(1)
11、(2x)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6C(2x)5()58 064.(2)设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10k()k(1)kC210kx102k.得即k，kN，k3，故系数的绝对值最大的是第4项T4(1)3C27x415 360x4.课堂小结1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0，1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0，1
12、，2，n的范围.1.设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A.15x4 B.15x4 C.20ix4 D.20ix4解析由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.选A.答案A2.在(xy)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A.第6项 B.第5项C.第5，6项 D.第6，7项解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，CC，由组合数的性质，得n10.展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.答案A3.设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为_.解析令x1，
13、则原式化为(1)212(1)192a0a1(21)a2(21)2a11(21)11，a0a1a2a112.答案24.已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项.解由题意知，CCC121，即CCC121，1n121，即n2n2400，解得：n15或16(舍).在(13x)15展开式中二项式系数最大的项是第8，9两项，且T8C(3x)7C37x7，T9C(3x)8C38x8.基 础 过 关1.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A.4 B.5 C.6 D.7解析令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有64
14、，n6.答案C2.(x1)11展开式中x的奇次项系数之和是()A.2 048 B.1 023 C.1 024 D.1 024解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，则a0a1a2a11211，令x1，则a0a1a2a110，两式相减得a0a2a4a102101 024.答案D3.(1x)(1x)2(1x)n的展开式中各项系数和为()A.2n1 B.2n1 C.2n11 D.2n12解析令x1，则2222n2n12.答案D4.在(ab)10的二项展开式中，系数最小的项是_.解析在(ab)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式
15、系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6Ca5(b)5252a5b5.答案252a5b55.若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.答案76.已知(12x)100a0a1(x1)a2(x1)2a100(x1)100，求a1a3a5a99的值.解令x2，可以得到5100a0a1a2a100，令x0，可以得到1a0a1a2a100，由得a1a3a5a99
16、(51001).7.对于二项式(1x)10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3)写出展开式中系数最大的项.解(1)由题意可知：r0，1，2，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6C(x)5252x5.(2)设(1x)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a100，令x0，得a01，a1a2a101.(3)中间项T6的系数为负，系数最大的项为T5和T7，T5Cx4210x4，T7Cx6210x6.8.已知fn(x)(1x)n.(1)若f2 015(x)a0a1xa2 015x2 015，求a1a3a2 013
17、a2 015的值；(2)若g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数.解(1)因为fn(x)(1x)n，所以f2 015(x)(1x)2 015，又f2 015(x)a0a1xa2 015x2 015，所以f2 015(1)a0a1a2 01522 015，f2 015(1)a0a1a2 014a2 0150，得：2(a1a3a2 013a2 015)22 015，所以：a1a3a2 013a2 01522 014.(2)因为g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，所以g(x)(1x)62(1x)73(1x)8，g(x)中含x6项的系数为12C3C99.能 力
18、提 升9.若(x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A.10 B.20 C.30 D.120解析由2n64，得n6，Tr1Cx6r()rCx62r(0r6，rN).由62r0，得r3.T4C20.答案B10.在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是()A.330 B.462 C.682 D.792解析二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n11 024，n11，展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为CC462.答案B11.设二项式()5的展开式中常数项为A，则A_.解析
19、二项式()5的展开式的通项公式为Tr1Cx(1)rx(1)rCx.令0，解得r3，故展开式的常数项为C10.答案1012.若(12x)2 014a0a1xa2x2a3x3a2 014x2 014(xR)，则a1a2a2 014_；的值为_.解析令x0，得a01，令x1，得32 014a0a1a2a2 014，a1a2a2 01432 014 1.令x，得1，1.答案32 0141113. 在(3x2y)20的展开式中，求(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项.解(1)二项式系数最大的项是第11项，T11C310(2)10x10y10C610x10y10.(2)设
20、系数绝对值最大的项是r1项，于是化简得解得7r8(rN)，所以r8，即T9C31228x12y8是系数绝对值最大的项.(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，故可设第2r1项系数最大，于是化简得解之得r5，即2519项系数最大.T9C31228x12y8.探 究 创 新14.已知数列an的首项为1，设f(n)a1Ca2CakCanC(nN*).(1)若an为常数列，求f(4)的值；(2)若an为公比为2的等比数列，求f(n)的解析式.解(1)因为an为常数列，所以an1(nN*).所以f(4)CCCC15.(2)因为an为公比为2的等比数列，所以an2n1(nN*).所以f(n)C2C4C2n1C，所以12f(n)12C22C23C2nC(12)n3n，故f(n).