1、质量检测(四)测试内容：立体几何时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013烟台诊断)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.解析：VSh211.答案：A2已知水平放置的ABC的直观图ABC(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1，则易知S(a)2，Sa2.故选D.答案：D3正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是()A30 B45 C60 D150
2、解析：如图，EFA1B，EF，A1B与对角面BDD1B1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A1B.连接A1C1，交D1B1于点M，连接BM，则有A1M面BDD1B1，A1BM为A1B与面BDD1B1所成的角RtA1BM中，A1B，A1M，故A1BM30.EF与对角面BDD1B1所成角的度数是30.答案：A4(2013山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A4，8 B4，C4(1)， D8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为，所以S侧44，V222.答案：B5(2013宁波市高三“十校”
3、联考)若有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m解析：，m，则m或m，又m，m，选D.答案：D6(2013保定第一次模拟)三棱锥VABC的底面ABC为正三角形，侧面VAC垂直于底面，VAVC，已知其正视图(VAC)的面积为，则其左视图的面积为() A.B.C.D.解析：利用三棱锥及三视图的特征，可设底面边长为a，高为h，则ah，ah，故其左视图的面积为Sah，故选D.答案：D7(2013南平质检)如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于()A162
4、B24C164 D12解析：由三视图知，几何体是半个圆柱，而圆柱下底面圆的半径为2，其轴截面为边长为4的正方形，故表面积为4424221612.答案：A8(2013荆州质检()在半径为R的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为r，当圆柱的侧面积最大时，为()A. B. C. D.解析：圆柱的底面半径为r，则有h2，侧面积S2rh4r4 42R2，当且仅当r2R2r2即时，圆柱的侧面积取得最大值，所以选C.答案：C9(2013山东潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()A B C
5、 D解析：由面面平行、垂直的定义可知正确，故选B.答案：B10(2013东北三校第二次联考)三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1底面ABC.若球O与三棱柱ABCA1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为()A. B. C1 D.解析：此三棱柱为正三棱柱，球O与三个侧面均相切，其俯视图如图所示其半径为R，RBD.球O的半径为，若球O与上、下底面均相切，则AA12R1，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11(2013乌鲁木齐第一次诊断)如图，单位正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥PACD1的体积为_解析
6、：由图易知，平面A1BC1平面ACD1，P到平面ACD1的距离等于平面A1BC1与平面ACD1间的距离，等于B1D，而SACD1AD1CD1sin 60，三棱锥PACD1的体积为.答案：12(2013汕头质量测评(二)如图，某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是_解析：该几何体是高为1的柱体，由体积为，知底面积为，所以填D.答案：D13(2013新课标全国卷)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE，所以OE
7、，故球的半径ROA，则球的表面积S4R224.答案：2414(2013北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_解析：点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(满分12分)(2013重庆卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)
8、求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积解：(1)证明：因为BCCD，所以BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin.由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.16(满分12分)(2013辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆
9、O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC的中点由Q为PA的中点，得QMPC，又O为AB的中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.17(满分13分)(2013新课标全国卷)
10、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1，又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC
11、，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.18(满分13分)(2013四川卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)解：(1)证明：如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC，所以DEAA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD1，DAC60，所以在ACD中，DEAD，又SA1QC1A1C1AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DESA1QC11.因此三棱锥A1QC1D的体积是.