1、第1讲直线的方程知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于x轴的直线斜截式y
2、kxb不含垂直于x轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A、B不能同时为0)所有直线都适用3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，方程为.(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1.(3)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1.4线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式辨 析 感 悟1对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角
3、与斜率()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为2.()2对直线的方程的认识(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为xy30.()感悟提升1直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角90时，ktan .直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在
4、斜率，倾斜角为90的直线无斜率，如(1)2三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_(2)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_解析(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1，又0，)，所以0或0，bc0，bc0；ab0；ab0，bc0；令y0，x0.即bc0
5、，ac0，从而ab0.答案7(2014淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为3，此时k，满足条件的直线l的斜率范围是(，1).答案(，1)8一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析设所求直线的方程为1，A(2,2)在直线上，1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即
6、x2y20或2xy20为所求直线的方程答案x2y20或2xy20二、解答题9(2014临沂月考)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是(，110已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在
7、使ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解存在理由如下：设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0,12k)，AOB的面积S(12k)(44)4.当且仅当4k，即k时，等号成立，故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014北京海淀一模)已知点A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，则直线AB的方程为_解析|AB|，所以cos ，sin ，所以kAB，即直线AB的方程为y(x1)，所以直线AB的方程为yx或yx.答案yx或yx2若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线
8、l的倾斜角的取值范围是_解析如图，直线l：ykx，过定点P(0，)，又A(3,0)，kPA，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案3已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_解析直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b22，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案二、解答题4.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx，设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.