1、课时作业(四十八)一、选择题1(2012年广州二模)已知双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A4 B. C D4解析：把双曲线的方程化为x21，可见，双曲线的实轴长为2，虚轴长为2 .据题意有：2 22，m.答案：C2(2012年洛阳二模)已知ABC为等腰直角三角形，ABC90，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()A.1 B. C2 D.1解析：据题意，|CA|AB|，|CB|AB|，且双曲线的实轴长为|CA|CB|(1)|AB|，双曲线的离心率为e1.答案：D3(2012年郑州二模)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|
2、PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8 C24 D48解析：双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|2510.据题意和双曲线的定义知：2|PF1|PF2|PF2|PF2|PF1|，|PF1|6，|PF2|8.|PF2|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2|PF1|PF2|6824.答案：C4(2012年新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2 C4 D8解析：设等轴双曲线C的方程为x2y2a2(a0)抛物线y216x的准线方程为x4，它与C的交点坐标为(4，)据题意，24，a
3、2，C的实轴长为2a4.答案：C5(2011年山东)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：圆C：x2y26x50的圆心坐标为(3,0)，由题意知双曲线的半焦距长c3，即a2b29，又双曲线的渐近线方程为bxay0，圆的半径为2，由题意得2，即9b24(a2b2)，联立得：a25，b24，即双曲线的方程为1.答案：A6(2012年福州质检)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1引圆x2y2a2的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于点P，若T为线段F1P的中点，则该双曲线的渐近线
4、方程为()Axy0 B2xy0 C4xy0 Dx2y0解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F2，c.T为F1P的中点，O为F1F2的中点，OTPF2，|PF2|2|OT|，PF1PF2，|PF2|2a，据双曲线的定义知：|PF1|PF2|2a，|PF1|4a.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，c25a2，b2a，2.双曲线的渐近线方程为y2x，即2xy0.答案：B二、填空题7(2012年合肥模拟)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_解析：如图，B1F1B260，则cb，即c23b2，由c23(c2a2)，得，则e.答案：8(20
5、12年杭州质检)双曲线x21的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为_解析：双曲线x21的右焦点F(c,0)到渐近线bxy0的距离：2，又a1，b21c2，解得b24，c25.双曲线的离心率e.答案：9如图，点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等得：|F1M|F2M|PF1|PF2|2a，又|F1M|F2M|2c，解得|F1M|ac，|F2M|ca，从而|F1M|F2M|c2a2b2.答案：b2三、解答题10求适合下列条件的双曲线方程：
6、(1)焦点在y轴上，且过点(3，4)、；(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)解：(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则因为点(3，4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得令m，n，则方程组化为解方程组得a216，b29，所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的渐近线方程yx，可设双曲线方程为(0)双曲线过点P(，2)，故所求双曲线方程为y2x21.11如图，已知F1、F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程解：(1)PF2F190，PF1F230.在Rt
7、PF2F1中，|PF1|，|PF2|PF1|，又|PF1|PF2|2a，即c2a，e.(2)对于双曲线，有c2a2b2，b.双曲线的渐近线方程为yx.12(2012年江南十校)已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为yx，右焦点为F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1、A2)，直线A1P、A2P分别与直线l：x交于M、N两点(1)求双曲线的方程；(2)求证：为定值解：(1)依题意可设双曲线方程为：1(a0，b0)，则所求双曲线方程为1.(2)证明：A1(3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设P(x，y)，M，(x3，y)，A1、P、M三点共线，(
8、x3)y0y0，y0，即M，同理得N，1，0，故为定值热点预测13已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42 B.1 C. D.1解析：(数形结合法)因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|PF1|2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1，故选D.答案：D14已知P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为_解析：设c，则，ac，bc.0(即PF1PF2)，SPF1F29，|PF1|PF2|18.两
9、式相减得：2|PF1|PF2|4b2，b29，b3，c5，a4，ab7.答案：715已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k21，故k的取值范围为.