1、课时作业(四十八)一、选择题1(2013石家庄质检(二)中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：因为焦距为4，所以c2，离心率e，a2，b2a2c24，故选D.答案：D2(2013泉州质检)已知椭圆C的上、下顶点分别为B1、B2，左、右焦点分别为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e等于()A. B. C. D.解析：四边形B1F1B2F2为正方形，则bc，e，选C.答案：C3(2013江西红色六校第二次联考)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的
2、等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.解析：由题可得如图|F1F2|2c|PF2|，PF2Q60，|F2Q|c，2ca，e，故选C.答案：C4已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆答案：B5(2013西安质检)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析：由题意得
3、F(1,0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)，x0(x01)yxx0yxx03(x02)22，当x02时，取得最大值为6.答案：C6(2013内江市第二次模拟)过椭圆C：y21的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若1，2，则12()A10 B5 C5 D10解析：特殊地，当直线l斜率为0时，为x轴，则A、B、M坐标分别为(，0)、(，0)、(0,0)(，0)，(2，0)，(，0)，(2，0)1(25)，225，1210，选D.答案：D二、填空题7(2013浙江金华十校高三模拟)已知椭圆C：1(a0，b0)的右焦点为F(3,0)，且点在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为_
4、解析：由已知椭圆的右焦点为F(3,0)，故c3，则b2a29，即1，代入点，可求得a218，b29.答案：18(2013河北唐山第二次模拟)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点P在椭圆上，若PF1F2为直角三角形，则PF1F2的面积等于_解析：c2，b2，由bc得P不能为直角，故PF1F2为直角三角形，只能F1或F2为直角，若F2为直角则F2(2,0)得P(2,3)SPF1P2436.答案：69椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为_解析：不妨设|F1F2|1，直线MF2的倾斜角为120，MF2F
5、160.|MF2|2，|MF1|，2a|MF1|MF2|2，2c|F1F2|1.e2.答案：2三、解答题10根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A(0,2)和B.解：(1)设椭圆的标准方程是1或1，则由题意知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中令xc得|y|在方程1中令yc得|x|依题意并结合图形知.b2.即椭圆的标准方程为1或1.(2)设经过两点A(0,2)，B的椭圆标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，代入A、B得，所求椭圆方程为x21.11(2013安徽摸底考试
6、)如图，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，ABAF2.(1)求椭圆C的离心率；(2)D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：xy30的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程解：(1)设B(x0,0)，由F2(c,0)，A(0，b)，知(c，b)，(x0，b)，cx0b20，x0，由知F1为BF2中点，故c2cb23c2a2c2，即a24c2，故椭圆C的离心率e(2)由(1)知，得ca，于是F2，B，ABF的外接圆圆心为F1，半径ra，D到直线l：xy30的最大距离等于2a，所以圆心到直线的距离为a，所以a，解得a2，c1，b，所
7、以椭圆C的方程为1.12(2013陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|.由此得|4x|2，化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)解法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中点，故x22x
8、1，将代入，得x1，x，可得2，且k2，解得k或k，所以，直线m的斜率为或.解法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中点，x1，y1.又1，1，联立以上四式解得或，即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线m的斜率为或.热点预测13(2013贵州省六校第一次联考)设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)a2，b1，c.F1(，0)，F2(，0)设P(x，y)(x0，y0)则(x，y)(x，y)x2y23，又y21，联立，解得，P.(2)显然x0不满足题设条件可设l的方程为ykx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立x24(kx2)24(14k2)x216kx120x1x2，x1x2由(16k)24(14k2)12016k23(14k2)0,4k230，得k2.又AOB为锐角cosAOB00，x1x2y1y20又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k440k24. 综合可知k24，k的取值范围是.