1、第2讲导数的应用(一)知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单凋递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极
2、大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点3函数的最值与导数设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值辨 析 感 悟1对函数的单调性与导数关系的理解(1)若函数f(x)在(a，b)内恒有f(x)0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)函数在其定义域内的离散的点处导数为0不影响函数的单调性()(3)
3、(2012辽宁卷改编)函数yx2ln x的单调减区间为(1,1)()2对函数极值、最值概念的理解(4)导数为0的点一定是极值点()(5)函数f(x)x有极值()(6)(教材习题改编)函数f(x)x34x4在(0,3)上的最大值为4，最小值为.()感悟提升1一点提醒函数最值是“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念，极大值与极小值没有必然的大小关系2两个条件一是f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，如(1)二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，如(4)3三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则二是函数
4、的极值一定不会在定义域区间的端点处取到三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.考点一利用导数研究函数的单调性【例1】 (2012山东卷节选)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)知，f(x)，x(0，)设h(x)ln x1，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数，由h(1)0知，当
5、0x0，从而f(x)0，当x1时，h(x)0，从而f(x)0)，f(x).令f(x)0，解得x1或(舍去)当x(0,1)时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，f(x)无极大值规律方法 (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值【训练2】 已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函
6、数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解(1)f(x)3x22axb.又1和1是函数f(x)的两个极值点，解之得，a0，b3.(2)由(1)知，f(x)x33x，g(x)x33x2.由g(x)0，得(x1)2(x2)0，g(x)0的根为x2或1.当x2时，g(x)0；当2x0.x2是函数g(x)的极小值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极小值点为2，无极大值点考点三利用导数求函数的最值【例3】 (2012重庆卷)已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值审题路线(1)a，b
7、的值；(2)求导确定函数的极大值求得c值求得极大值、极小值、端点值求得最值解(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)9c极大值极小值9c由表知f(x)在x2处取得极大值，f(2)16c；在x2处取得极小值f(2)c16.则16c28，得c12，故f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.规律方法 在解决类似的问题
8、时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)f(x)2x2，求g(x)在定义域上的最值解(1)f(x)12ax(x0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，即解得a1，b3.(2)由(1)知，f(x)xx23ln x，其定义域为(0，)，g(x)2xx23ln x，x0，则g(x)12x.当0x
9、0；当x1时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减g(x)的最大值为g(1)0，g(x)没有最小值1求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得思想方法3分类讨论思想在导数中的应用【典例】 (2013浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解(1)当a1
10、时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为6xy80.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值由题意知f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x1或a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0极大值3a1极小值a2(3a)4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0极小值3a128a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)反思感悟 (1)含参数的函数的单调性问题
11、一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题的难点是分类讨论，除了比较两个根1与a的大小外，还须比较f(0)与f(a)的大小【自主体验】(2013临沂一模)设f(x)ex(ax2x1)(a0)，试讨论f(x)的单调性解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)exax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)aex(x2)当a时，f(x)ex(x2)20恒成立，函数f(x)在R上单调递增；当0a时，有2，令f(x)aex(x2)0，有x2或x，令f(x)aex(x2
12、)0，有x2，函数f(x)在和(2，)上单调递增，在上单调递减；当a时，有2，令f(x)aex(x2)0，有x或x2，令f(x)aex(x2)0，有2x，函数f(x)在(，2)和上单调递增；在上单调递减.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_解析f(x)ex(x2)，令f(x)0得x2.f(x)的单调增区间是(2，)答案(2，)2.(2013浙江卷改编)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是_解析由yf(x)的图象知，yf(x)的图象为增函数，且在区间(1,0)上增长速度越来越快，而在
13、区间(0,1)上增长速度越来越慢答案3(2014苏州模拟)函数yxex的最小值是_解析yexxex(1x)ex，令y0，则x1，因为x1时，y0，x1时，y0，所以x1时，ymin.答案4(2013威海期末考试)函数yln xx2的极值点为_解析函数的定义域为(0，)，函数的导数为y2x，令y0，解得x，当x时，y0，当0x时，y0，所以当x时，函数取得极大值，故函数的极值点为.答案5设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则_a1；a1；a；a.解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.答案6已知函数f(x)x2
14、4x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)7(2014淄博模拟)已知f(x)x33ax2bxa2，在x1时有极值0，则ab_.解析由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.答案78(2013福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确
15、的是_xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点解析错，因为极大值未必是最大值；错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案二、解答题9(2014绍兴模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解
16、 (1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0.当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为x1，所以f(1)4.所以1abc4，所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，所以f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x2或.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.10(2013济南模拟)已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线f
17、(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0，求f(x)的单调区间解(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e，又因为f(1)e，所以所求切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)f(x)(2ax1)ex(ax2x1)exax2(2a1)xex，若a0，当x0或x时，f(x)0；当0x时，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(，0，；单调递增区间为.若a，f(x)x2ex0，所以f(x)的单调递减区间为(，)若a，当x或x0时，f(x)0；当x0时，f(
18、x)0.所以f(x)的单调递减区间为，0，)；单调递增区间为.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定_有最小值；有最大值；是减函数；是增函数解析由函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，可得a0，所以g(x)在(1，)上为增函数答案2(2013金陵中学模拟)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_解析f(x)12x22ax2b，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，当且仅当ab时“”成立，所以ab的最大值为9.答案
19、93(2014宁波调研)设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是_解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，此时f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1.答案(1，)二、解答题4(2012全国卷)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增；若
20、a0，则当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.
