1、课堂导学三点剖析一、逻辑联结词“或”“且”“非”【例1】写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断真假.(1)p：1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：NZ；q：0N.思路分析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或”“且”“非”的应用.解：(1)因为p假q真，所以p或q：1是质数或是方程x2+2x-3=0的根，为真；p且q：1是质数且是方程x2+2x-3=0的根，为假；非p：1不是质数，为真.(2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假
2、；p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真.(3)因为p真q真，所以p或q：NZ或0N，为真；p且q：NZ且0N，为真；非p：NZ，为假.温馨提示为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式，然后指出其中命题p、q的真假，再根据已有结论判断这个命题的真假.二、含有一个量词的命题的否定【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的xR，x2+x+1=0都成立；(2)p：xR，x2+2x+50.解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”，因此，p：至
3、少存在一个xR，使x2+x+10成立；即p：xR，使x2+x+10成立.(2)由于“xR”表示至少存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p：对任意一个x都有x2+2x+50，即xR，x2+2x+50.温馨提示首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定.从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.三、逻辑知识的综合应用【例3】 已知p：方程x3+mx+4=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.解：若方
4、程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则解得m4，即p：m4若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，则=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0，解得1m3，即q：1m3.因p或q为真，所以p、q至少有一个为真.又p且q为假，所以p、q至少有一个为假.因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真.所以解得m4或1m3.温馨提示由p、q的真假可以判断pq、pq，p的真假.反过来，由pq、pq，p的真假也应能准确断定p、q的真假情况.如“pq”为假，应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”这三种情况.类题演练1指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：
5、(1)1010；(2)方程x2-6x-1=0没有实数根；(3)有两个角为45的三角形是等腰直角三角形.解：(1)是“pq”形式的复合命题，其中p：10=10；q：1010；(2)是非p形式的复合命题，其中p：方程x2-6x+1=0有实根为真，则非p为假命题；(3)是“pq”形式的复合命题，其中p：有两个角为45的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45的三角形是直角三角形，为真命题.变式提升1用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假.(1)5和7都是素数；(2)平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分.解：(1)“5和7都是素数”可以改写成“5是素数且7也是素数”.“5是素数”与“7是素数”都
6、是真命题.这个命题是真命题.(2)“平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分”.“平行四边形的对角线互相垂直”是假命题.这个命题是假命题.类题演练2命题p：xR，0的非p形式的命题是()A.xR,0B.xR,1x3C.xR,x1或x3D.xR,x1或x3解析：事实上，求一个命题的“非p”形式，首先应把该命题化为最简形式.求命题p：xR,0的“非p”形式，由于该命题不是最简形式，所以首先应把它化为最简形式1x3后再求其“非p”形式，故应选D.答案：D变式提升2判断命题“xR，方程x2+2x+1=0有解”是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.解
7、析：由于xR表示x是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；其否定是“x不是任意实数，方程x2+2x+1=0无解”.类题演练3已知a0，a1，设P：函数y=loga(x+1)在x(0,+)内单调递减；Q：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P和Q有且只有一个正确，求a的取值范围.解：当0a1时，y=loga(x+1)在(0,+)内不是单调递减.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于(2a-3)2-40，即0a.(1)若P正确，且Q不正确，即函数y=loga(x+1)在(0,+)内单调递减，曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点，因此a(0,1)(,1)(1,)，即a，1).(2)若P不正确，且Q正确，即函数y=loga(x+1)在(0,+)内不是单调递减，曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点，因此a(1,+)(0,)(,+)，即a(,+).综上，a的取值范围为,1)(,+).变式提升3设p：|x-a|2，q：，若p则q为真命题.求实数a的取值范围.解：由|x-a|2得p：a-2xa+2由1得-10，即0解得q：-2x3.若p则q为真命题(如图)，解得0a1实数a的取值范围为0a1.
