1、湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷的相应表格中） 1.已知为第四象限的角，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为第四象限的角，且，求出，即可求出.【详解】为第四象限的角，且，.故选：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.2.下列函数在内单调递增的函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.【详解】A. ，二次函数开口向下，
2、对称轴为，所以二次函数在内单调递增，所以该选项符合题意；B. ，在内单调递增，在单调递减，在单调递增，所以该选项不符合题意；C. 在内单调递减，所以该选项不符合题意；D. 在内单调递减，所以该选项不符合题意.故选：【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.定义集合运算：，设集合 ，则集合 的所有元素个数为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合 的所有元素，即得解.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，.所以集合 的共有3个元素.故选：【点睛】本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
3、.4.下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角公式化简每一个选项再判断得解.【详解】A. ,所以该选项错误；B. ，所以该选项错误；C. ，所以该选项正确；D. =0，所以该选项错误.故选：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和标准差分别为和s，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别为（ ）A. ，sB. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用均值和标准差的公式求解即可.【详解】月工资均值和标准差分别为和s，
4、现在每个员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别.故选：【点睛】本题主要考查均值和标准差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥，底面是边长为的矩形，棱锥的高为，所以几何体的体积.故选：【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.7.如图,执行该程序框图，若输入的，则输出的（ ） A.
5、B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】由题意，模拟程序的运行，可得，不满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，不满足条件，执行循环体，不满足条件是奇数，满足条件，退出循环，输出的值为9故选：【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
6、出正确的结论，是基础题8.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简即得解.【详解】.故选：【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知为直线的倾斜角，若, ,则直线的斜率为（ ）A. 7B. -7C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再根据即可得解.【详解】由题得.所以.故选：【点睛】本题主要考查直线的斜率的计算，考查同角的三角函数关系的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.已知圆 的一条直径通过直线 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 （ ）A. B.
7、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出圆心的坐标和直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得圆的圆心坐标为，所求的直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.故选：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11.方程 实数解的个数为 （ ）A. 个B. 个C. 个D. 4 个【答案】C【解析】【分析】如图，在同一坐标系下作出函数的图象，得到两函数图象交点的个数，即得解.【详解】由题得，如图，在同一坐标系下作出函数的图象，得两个函数的图象有3个交点，所以方程 实数解的个数为3个.故选：【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对
8、数函数和三角函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析问题能力.12.若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出直线 与曲线 的图象，如图所示，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得，所以，作出直线 与曲线 ，如图所示，当直线经过点时，当直线和曲线相切时，.所以 的取值范围是.故选：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应横线上）.13.计算：_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简求
9、值即得解.【详解】由题得=.故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.设 是周期为 2 的偶函数，当 时，则 _【答案】【解析】【分析】先转化成求的值，再利用函数的奇偶性求得解.【详解】由函数的周期得，因为函数是偶函数，所以.故答案为：0【点睛】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知,则,.【答案】【解析】【分析】先求出求出，再通过角的范围分析得解.【详解】因为，所以所以.因为，所以同号，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数
10、关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在直角边长分别为的三角形 内任取一点 ，则使点 到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是_.【答案】【解析】【分析】如图所示，点分布在如图所示的阴影部分区域内，再根据几何概型的概率公式求解.【详解】如图所示，点分布在如图所示的阴影部分区域内，它们的面积和刚好等于以2为半径的圆的一半，所以由几何概型的概率公式得使点到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.设全集，已知集
11、合 ,（1）求 ；（2）记集合，集合，若 ，求实数 的取值范围【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先化简集合再求得解；（2）先求出集合,由得B,再对集合分两种情况讨论得解.【详解】（1），,= .（2），由得B若B=,则，即若B,则，即, 所以综上所述： 的取值范围为【点睛】本题主要考查对数不等式和三角不等式的求解，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知（1）若 ，求 值；（2）若 为第三象限角，且 ，求 的值【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先化简得，即得解；（2）由题得，再求，即得解.【详解】（1），因为，所以 ；（2） 为第三象限角，所以
12、.【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某校从高一年级期末考试学生中抽出 6 名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）估计这次考试的中位数（2）假设分数在的学生的成绩都不相同，且都在分以上，现用简单随机抽样方法，从这 个数中任取 个数，求这 个数恰好是两个学生的成绩的概率.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先确定中位数在内，再求出中位数；（2）利用古典概型的概率公式计算得解.【详解】（1）左边第1个矩形面积为，左边第2个矩形的面积为，左边第3个矩形的面积为，左边第4个矩形的面积为，所以中位数在内.所以
13、中位数为.（2）成绩在的人数为，记 分别为1，2，3，4，5,所有的组合数：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），不妨设三个人得成绩分别为1，2，3，则符合条件的为：（1,2），（1,3），（2,3），所以P=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的中位数的求法和古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，已知四棱锥，二面角的大小为，连接，点，分别在线段，上（1）证明：；（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）先证明，即得证；（2
14、）设点到平面的距离为，因为，且 ，化简即得点到平面的距离【详解】（1） ，二面角 的大小为 ，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，在四边形 中，所以 ，又 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 （2） 设点 到平面 的距离为 ，因为 ，且 ，所以 ， 解得 ， 所以点 到平面 的距离为【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知圆 ，直线 （1）求与圆 相切，且与直线 平行的直线方程；（2）点 ，在直线 上（ 为坐标原点），存在定点 （不同于点 ），满足对于圆 上任一点 ，都有 为一常数，试求所有满足条件的点
15、 的坐标【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设所求直线方程为，解方程即得解；（2）假设存在这样的点，先求出，再证明点对于圆上任一点，都有为一常数【详解】（1） 设所求直线方程为因为直线与圆相切，所以，得 ，所以所求直线方程为 （2）假设存在这样的点，当为圆与y轴的上交点时，；当为圆与轴的下交点时，依题意，解得 （舍去）或 下面证明点 对于圆上任一点，都有 一常数设，则，所以，从而 为常数【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查直线和圆中的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.设函数，函数在区间上的最大值为.（1）若，求的值；（2）若对任意的恒成立
16、，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据可知该函数是对勾函数作了左右和上下的平移变换，若，则可得到在区间上是增函数，故的最大值就是，但是，的图像是由的图像作了翻折变换，上不动而下翻折，要比较与两者的大小，所以；（2）第二小题由于不能确定在区间上是递增的还是先减后增，因此要分类讨论，一种情况是是递增的，最大值在中产生，另一种情况是先减后增，最大值在或是中产生，通过三种情况分类，最后总结得到的最小值，也就是的最大值.试题解析：解：（1）当时，在区间上是增函数，所以，所以.（2）当时，因为，所以，所以.当时，有，则，所以.当时，有，则，所以，所以.综上可知，对任意的都有.考点：对勾函数的单调性，函数图像的对称变化和平移变化，绝对值不等式求最值的应用. 【方法点晴】本题主要考查的是函数的综合性大题，主要涉及的函数是对勾函数的模型，在此基础上作一定的变化，包括平移变化和对称变化，从图形的特征出发，求该函数的最大值，根据该图像的变化规律，分析最大值只可能在端点的地方或者顶点的地方取到，根据，对进行分类讨论，第一种是最大值在两个端点处取大的，第二种是最大值在一个端点和一个顶点出取大的，其中第二种又要分成两种情况，结合图形，可以得到的最小值，也就是题中所要求的的最大值.