1、质量检测(三)测试内容：数列不等式推理与证明时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013天津十二区县重点学校联考(一)“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2xz”成立的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：lg x，lg y，lg z成等差，必有2lg ylg xlg z得y2xz.故前者为后者的充分条件，但y2xz，y0，x0，z0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 Da2b28解析：ab42，2，ab4，故C错，A错1，故B错(ab)2a2b22ab2(a2b2
2、)a2b28，故选D.答案：D6(2012辽宁卷)设变量x，y满足则2x3y的最大值为()A20 B35 C45 D55解析：可行域如图所示：由得A(5,15)，A点为最优解，zmax2531555，故选D.答案：D7若不等式(a2)x22(a2)x40对于xR恒成立，则a的取值范围是()A(2,2) B2,2 C(2,2 D2,2)解析：当a2时，不等式40恒成立；当a2时，由，解得2a0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4解
3、析：设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题答案：D9(2013浙江五校第二次联考)已知实数x、y满足，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为的直角三角形，则n的值是()A B2 C2 D.解析：在坐标平面内画出线性约束条件所表示的可行域，欲使可行域为直角三角形，可得m1时，可与直线xy1垂直，此时求出与的解，由直角三角形的面积为，可求得n，故选A.答案：A10定义在R上的函数
4、f(x)满足f(x)f(x2)，当x1时，f(x)单调递增，如果x1x22且(x11)(x21)1时f(x)单调递增可知当x1时函数f(x)单调递增由(x11)(x21)1，则x22，x12x2.由x21，故x12x21.f(x1)f(2x2)f(2x2)f(x2)f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11设Sn是等差数列an的前n项和，若S5a85，S6a7a95，则公差d等于_解析：a6S6S5a7a95(a85)a7a9a810，a6a7a9a810，dd10，d5.答案：512二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维
5、测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.则四维空间中“超球”的四维测度W2r4，猜想其三维测度V_.解析：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2r4)8r3.故填8r3.答案：8r313(2013安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_解析：法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令zxy，易知当直线yxz经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax4.法二：令z
6、xy.界点定值，同法一先画出可行域，这时把边界点O(0,0)，A(0,1)，B，C(4,0)代入目标函数zxy可得zA1，zB，zC4，比较可得zmax4.答案：414(2013重庆卷)设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_解析：根据题意可得(8sin )248cos 20，即2sin2cos 20,2sin2(12sin2)0，即sin .因为0，故.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(满分12分)(2013新课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求a
7、n的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为d.由题意，aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.16(满分12分)(1)解不等式：ax2(a1)x10)；(2)已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时， f(x)a恒成立，求a的取值范围解：(1)原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；
8、当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.(2)法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时， f(x)在1，)上单调递增， f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时， f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，a的取值范围为3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范围是3,117(满分13分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x
9、是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分批，每批价值为20x元，由题意得f(x)4k20x.由x4时，f(x)52，得k.f(x)4x(0x36，xN*)(2)由(1)知f(x)4x(02n3.解：(1)an2an12n(n2，且nN*)，1，即1(n2，且nN*)，所以，数列是等差数列，公差d1，首项，于是(n1)d(n1)1n，an2n.(2)Sn2122232n2Sn2223242n1以上两式相减得Sn122232n2n1222232n2n112n11(32n)2n3，Sn(2n3)2n3(2n3)2n，2n3.