1、4正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系2掌握任意角的正弦、余弦函数定义(重点)3掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点)1.通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养2通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养.1任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆(2)如图所示，设是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P.正弦函数sin
2、 余弦函数cos 定义点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作vsin_点P的横坐标u叫作角的余弦函数，记作ucos_在各象限的符号思考：1.已知Q是角终边上除原点外的一点，如何求sin 与cos ？提示：sin ，cos .2正弦函数、余弦函数的基本性质性质正弦函数ysin x余弦函数ycos x定义域R值域最大值与最小值当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin1当x2k，kZ时，ymax1；当x，kZ时，ymin1周期性周期函数，T2单调性在，kZ上是增加的；在，kZ上是减少的在，kZ上是增加的；在，kZ上是减少的思考：2.为什么ysin x，xR是周期函数？提示：因为xR，x
3、2与x终边相同，所以sinsin x，根据周期函数的定义可知，ysin x，xR是周期函数1设已知角的终边与单位圆交于点，则sin的值为()ABCDB由于x，y，由正弦函数的定义知，sin y，故选B2当为第二象限角时，的值是()A1B0C2D2C为第二象限角，sin 0，cos 0.2.3点P(sin 2 020，cos 2 020)位于第_象限三2 0205360220，2 020是第三象限角，sin 2 0200，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos .若a0，则为第三象限角，r2a，所以sin ，cos
4、.正弦、余弦函数值符号的判断【例2】(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)判断下列各式的符号sin 145cos(210)；sin 3cos 4.(1)D(1)为第二象限角，sin0，cos0，点P在第四象限，故选D(2)解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.3，4，sin 30，cos 40，sin 3cos 40.对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
5、2若三角形的两内角A，B满足sin Acos B0，则此三角形为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都有可能B由题意知，A，B(0，)，sin A0，cos B0，B为钝角故选B单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】已知函数f(x).求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间解(1)要使函数f(x)有意义，则sin x .如图所示，画出单位圆，作直线y，交单位圆于P1，P2两点，在0,2)范围内，sinsin，则点P1，P2分别在，的终边上，又sin x ，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x 的角的终边所在的
6、范围，即当x0,2)时， x ，故函数f(x)的定义域为.(2)由sin x1，得f(x)的值域为.(3)函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.1在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .解(1) 作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围故满足条件的角的集合为.2使sin xcos x成立的x的一个取值区间是()ABCD0，A如图所示，在直角坐标系中作出单位
7、圆及直线yx，要使sin xcos x，由三角函数线的定义知角x的终边应落在直线yx上或者该直线的下方，故选A利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域；第三步：结合单位圆写出不等式的解集.1三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点2正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)终边相同的角的同名三角函数值相等 ()(2)若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos ()(3)若sin 0，则是第一、二象限角()(4)函数ysin x在上是单调递增函数()(5)函数ycos x在0，上的值域是0,1()答案(1)(2)(3)(4)(5)2设已知角的终边与单位圆交于点，则cos 的值为()ABCDA由于x，由余弦函数的定义知，cos x，故选A3已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P是角终边上一点，且sin ，则y_.8sin ，y0，200是第三象限角，cos 2000，sin 100cos 2000.(2)4，即与终边相同，而为第三象限角，也为第三象限角，sin0，sincos 0.
