1、第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数A级基础巩固一、选择题1下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2函数f(x)的最大值为()Ae1 Be Ce2 D10解析：令f(x)0(x0)，解得xe.当xe时，f(x)0；当0x0，所以f(x)极大值f(e)e
2、1，在定义域内只有一个极值，所以f(x)maxe1.答案：A3函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1 C不存在 D0解析：f(x)x，且x0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0)，令f(x)0得0x1，令f(x)0得x1，所以f(x)在(0，1上是增函数，在(1，e上是减函数所以当x1时，f(x)有最大值f(1)1.答案：17已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_解析：由题意，得f(x)3x212，令f(x)0，得x2，又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，Mm32.答案：328如果函数f(x)x3
3、x2a在1，1上的最大值是2，那么f(x)在1，1上的最小值是_解析：f(x)3x23x，令f(x)0得x0，或x1.因为f(0)a，f(1)a，f(1)a，所以 f(x)maxa2.所以 f(x)mina.答案：三、解答题9已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，求实数a的取值范围解：由f(x)2ln x，得f(x).又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0.故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.所以实数a的取值范围是e，)10(2
4、018全国卷)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a.(1)证明：当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故当x1时，g(x)g(0)0，当且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0.所以f(x)在(1，)单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0时，f(x)0.(2)解：()若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，
5、这与x0是f(x)的极大值点矛盾()若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|0，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).若6a10，则当0x，且|x|0，故x0不是h(x)的极大值点若6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1，0)，且|x|min时，h(x)0；当x(0，1)时，h(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，13设函数f(x)xx23ln x证明：f(x)2x2.证明：f(x)的定义域为(0，)，设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x则g(x)12x.令g(x)0，得x1或x(舍去)当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0.所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以 g(x)maxg(1)0，所以 f(x)(2x2)0.所以 f(x)2x2.
