1、第一节变化率与导数、导数的计算【考纲下载】1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时
2、速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)li 为f(x)的导函数2几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的
3、导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值2曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x
4、)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选Bx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos x x2(cos x)2xcos xx2sin x.2若f (x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A4 B2 C2 D4解析：选Bf(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx，又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.3曲线y2xx3在x1处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：
5、选Af(x)2xx3，f(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，切线方程为y1(x1)，即xy20.4曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，则a()A. B C. D解析：选Byax2ax1，y2axa，y|x0a.又曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，(a)(2)1，即a.5(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312.答案：2易误警示(十一)导数几何意义应用的易误点典例若存在过点(1,0)的直线与曲线yx
6、3和yax2x9都相切，则a等于()A1或B1或C或 D或7解题指导由于点(1,0)不在曲线yx3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，通过直线与yx3相切求得切点坐标，然后再求a的值解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.答案A名师点评1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提已知曲线f(x)2x33x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为_解析：设切点坐标为N(x0,2x3x0)，由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值，而f(x)6x23，则切线的斜率kf(x0)6x3，所以切线方程为y(6x3)x32.又点N在切线上，所以有2x3x0(6x3)x032，解得x02.故切线方程为y21x32.答案：y21x32