1、2015-2016学年湖南省株洲市潇湘高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）1已知集合M=1，0，1，N=0，1，2，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为( )A0，1B1，0，1C1，2D1，0，1，22下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”的是( )ABf（x）=x24x+4Cf（x）=2xD3函数的值域为( )ARB（0，+）C（，0）（0，+）D（，1）（0，+）4设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=3x2x+a（aR），则f（2）=( )A1B4C1D45设f（x
2、）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x1时，则的大小关系是( )ABCD6函数f（x）=lg（|x|1）的大致图象是( )ABCD7若abc，则函数f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）的两个零点分别位于区间( )A（a，b）和（b，c）内B（，a）和（a，b）内C（b，c）和（c，+）内D（，a）和（c，+）内8已知函数f（x）满足f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，
3、q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=( )Aa22a16Ba2+2a16C16D16二、填空题：本大题共7小题，每小题5分9若f（x）是R上的奇函数，则函数y=f（x+1）2的图象必过定点_10若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为_11已知函数y=在区间（上是增函数，则实数a的取值范围是_12若不等式对一切非零实数x均成立，记实数m的取值范围为M已知集合A=x|xM，集合B=xR|x2x60，则集合AB=_13有下列命题：命题“xR使得loga（x2+1）3”的否定是“xR都有x2+13”；设p、q为简单命题，若“pq”为假命
4、题，则“pq为真命题”；“a2”是“a5”的充分不必要条件；若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=1；其中所有正确的说法序号是_14定义在R上的偶函数f（x），对任意xR，均有f（x+4）=f（x）成立，当x0，2时，f（x）=2x+1，则直线y=4与y=f（x）的图象交点中最近两点的距离为_15若规定E=a1，a2a10的子集为E的第k个子集，其中k=2k11+2k21+2k31+2kn1则（1）a1，a3是E的第_个子集；（2）E的第211个子集是_三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x24x+3在0，a的
5、值域为1，3若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围17已知集合，集合Q是函数f（x）=log2（ax22x+2）的定义域（1）若，求实数a的值；（2）若PQ=，求实数a的取值范围18设函数f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求I的长度（注：区间（a，）的长度定义为）；（）给定常数k（0，1），当1ka1+k时，求I长度的最小值19（13分）定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k3x）+f（3x9x2）0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围
6、20（13分）某工厂有216名工人，现接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置（完成自己的任务后不再支援另一组）设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）（1）写出g（x），h（x）的解析式_；（2）写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式_；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？_21（13分）设函数fn（x）=xn+bx+c（n
7、N+，b，cR）（1）设n2，b=1，c=1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，xn的增减性2015-2016学年湖南省株洲市潇湘高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）1已知集合M=1，0，1，N=0，1，2，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为( )A0，1B1，0，1C1，2D1，0，1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算 【分析】判断阴影部分对应的集合，通过集合运算
8、求解即可【解答】解：阴影部分表示集合为（CUM）NM（CUN）集合M=1，0，1，N=0，1，2，（CUM）NM（CUN）=1，2故选：C【点评】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题2下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”的是( )ABf（x）=x24x+4Cf（x）=2xD【考点】函数的单调性及单调区间 【专题】计算题【分析】利用函数的单调性对A，B，C，D逐一判断即可【解答】解：对于A，f（x）=为（0，+）上的减函数，故可排除；对于B，f（x）=x24x+4=（x2）2，在（0，2）上单调递减，在2，+）上单调递增，
9、故可排除B；对于C，f（x）=2x，在区间（0，+）上单调递增，满足题意；对于D，f（x）=为（0，+）上的减函数，故可排除D；综上所述，满足题意得只有C故选C【点评】本题考查函数的单调性及单调区间，掌握基本初等函数的单调性是根本，属于中档题3函数的值域为( )ARB（0，+）C（，0）（0，+）D（，1）（0，+）【考点】函数的值域 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得 +10，且 +11，故有 0，从而函数 的值域【解答】解：由题意可得 x1+1=+10，且 +11，log21，故 函数0，故函数的值域为 （，0）（0，+），故选C【点评】本题主要考查对数函数的特殊点和对数函数的值域
10、，属于基础题4设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=3x2x+a（aR），则f（2）=( )A1B4C1D4【考点】函数的值 【专题】函数的性质及应用【分析】根据奇函数的性质f（0）=0，求得a的值；再由f（2）=f（2）即可求得答案【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，f（0）=0，解得a=1当x0时，f（x）=3x2x1f（2）=f（2）=（32221）=4故选B【点评】本题考查了奇函数的性质，充分理解奇函数的定义及利用f（0）=0是解决此问题的关键5设f（x）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x1时，则的大小关系是( )ABCD【考点】奇偶函
11、数图象的对称性 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论【解答】解：y=f（x+1）是偶函数，f（x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称当x1时，为减函数，当x1时函数f（x）为增函数f（）=f（）=f（）=f（），且，即故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键6函数f（x）=lg（|x|1）的大致图象是( )ABCD【考点】对数函数的图像与性质 【专题】计算题【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：函数f（
12、x）=lg（|x|1），f（x）=lg（|x|1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或1时，y0，故选B；【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；7若abc，则函数f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）的两个零点分别位于区间( )A（a，b）和（b，c）内B（，a）和（a，b）内C（b，c）和（c，+）内D（，a）和（c，+）内【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出【解答】解：abc，f（a）=（ab
13、）（ac）0，f（b）=（bc）（ba）0，f（c）=（ca）（cb）0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内故选A【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键8已知函数f（x）满足f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）
14、的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=( )Aa22a16Ba2+2a16C16D16【考点】函数最值的应用 【专题】压轴题；函数的性质及应用【分析】本选择题宜采用特殊值法取a=2，则f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4画出它们的图象，如图所示从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得【解答】解：取a=2，则f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4画出它们的图象，如图所示则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，A=4，B=
15、20，AB=16故选C【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分9若f（x）是R上的奇函数，则函数y=f（x+1）2的图象必过定点（1，2）【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题【分析】根据定义在R上的奇函数的图象必过坐标原点，结合函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，我们判断原点平移后的对应点，即可得到答案【解答】解：f（x）是R上的奇函数，函数f（x）的图象必过原点（0，0）而函数y=f（x+1）2的图象是由函数f（x）的图象向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到的故函数y=f（x+1）2
16、的图象必过定点（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数图象的平移变换，其中根据奇函数的特性，确定出函数f（x）的图象必过原点（0，0）是解答本题的关键10若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x4y+4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可【解答】解：f（x）是幂函数，设f（x）=x图象经过点（4，2），2=4=f（x）=f（x）=它在A点处的切线
17、方程的斜率为f（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x4y+4=0故答案为：x4y+4=0【点评】本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题11已知函数y=在区间（上是增函数，则实数a的取值范围是2，2+2）【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x2axa由题意可得，g（x）应在区间（上是减函数，且g（x）0，再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果【解答】解：令g（x）=x2ax+a，由于y=f（x）=g（x）在区间（上是增函数，故g（x
18、）应在区间（上是减函数，且g（x）0故有 ，即 ，解得 2a2+2故实数a的取值范围是2，2+2），故答案为2，2+2）【点评】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，属于中档题12若不等式对一切非零实数x均成立，记实数m的取值范围为M已知集合A=x|xM，集合B=xR|x2x60，则集合AB=x|1x3【考点】基本不等式在最值问题中的应用；交集及其运算 【专题】函数的性质及应用；集合【分析】根据题意设f（x）=，求出函数的定义域和f（x），判断出函数的奇偶性，利用基本不等式求出函数的最小值，再求出m的范围，由交集的运算求出AB【解答】解：设f（
19、x）=，则函数的定义域为x|x0，因为f（x）=f（x），所以函数f（x）=是偶函数，当x0时，=4，当且仅当时取等号，所以函数f（x）=的最小值是4，因为不等式对一切非零实数x均成立，所以4|m2|+1，即|m2|3，解得1m5，则集合A=x|1x5，又B=xR|x2x60=x|2x3，所以集合AB=x|1x3，故答案为：x|1x3【点评】本题考查交集及其运算，函数的奇偶性的应用，基本不等式求函数的最值，恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及绝对值不等式、二次不等式的解法等13有下列命题：命题“xR使得loga（x2+1）3”的否定是“xR都有x2+13”；设p、q为简单命题，若“pq”为假
20、命题，则“pq为真命题”；“a2”是“a5”的充分不必要条件；若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=1；其中所有正确的说法序号是【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的性质 【专题】阅读型【分析】利用含量词的命题的否定判断出错；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出对；利用充要条件的定义判断出错；利用偶函数的定义判断出对，进而可得答案【解答】解：对于“xR使得loga（x2+1）3”的否定是“xR使得loga（x2+1）3”，故错对于，若“pq”为假命题，命题p，q都是假命题p，q都是真命题“pq为真命题，故对对于“a2”成立不一定有
21、“a5”但“a5”成立一定有“a2”，所以“a2”是“a5”的必要不充分条件；故错对于，若f（x）是偶函数则f（x）=f（x）即（x+1）（x+a）=（x+1）（x+a），所以（a+1）x=（a+1）x恒成立所以a=1故对故答案为【点评】本题考查含量词的命题的否定形式、考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系、考查充要条件的判断、考查函数奇偶性的判断14定义在R上的偶函数f（x），对任意xR，均有f（x+4）=f（x）成立，当x0，2时，f（x）=2x+1，则直线y=4与y=f（x）的图象交点中最近两点的距离为1【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；
22、函数的性质及应用【分析】先求出函数的周期，然后根据偶函数图象的性质画出函数的部分图象，结合图形进行求解即可【解答】解：对任意的xR均有f（x+4）=f（x）成立，y=f（x）的周期为4，而y=f（x）为偶函数，图象关于y轴对称画出函数的图象，将y=4代入f（x）=2x+1解得x=，根据图形可知图象关于x=2对称，则在2，4上的交点横坐标为直线y=4与函数y=f（x）的图象交点中最近两点的距离等于1故答案为：1【点评】本题主要考查了函数的周期性与偶函数图象的性质，同时考查了数形结合的思想，属于基础题15若规定E=a1，a2a10的子集为E的第k个子集，其中k=2k11+2k21+2k31+2kn
23、1则（1）a1，a3是E的第5个子集；（2）E的第211个子集是a1，a2，a5，a7，a8【考点】子集与真子集 【专题】集合【分析】（1）由k=2k11+2k21+2k31+2kn1受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案；（2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可【解答】解：（1）a1，a3=a3，a1化成二进制101（0为不出现，1为出现），这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101；二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；故答案为：5（2）十进制211等于二进制11010011，即对应集合a8，a7，a5
24、，a2，a1，又由a8，a7，a5，a2，a1=a1，a2，a5，a7，a8故第二空填a1，a2，a5，a7，a8故答案为：a1，a2，a5，a7，a8【点评】本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x24x+3在0，a的值域为1，3若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】计算题【分析】命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p
25、且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；【解答】解：命题p：函数是R上的减函数，由得命题q：g（x）=（x2）21，在0，a上的值域为1，3得2a4p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假若p真q假，得若p假q真，得综上，a2或a4【点评】此题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，另外计算量比较大要仔细计算17已知集合，集合Q是函数f（x）=log2（ax22x+2）的定义域（1）若，求实数a的值；（2）若PQ=，求实数a的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题 【专题】计算题【分析】（1）结合题意，得出不等式ax22x+20的解
26、集为说明a为负数且，可得实数a的值；（2）PQ=，问题等价于xP，ax22x+20在区间恒成立，采用变量分离，可得：，结合，可得实数a的取值范围【解答】解：（1），即不等式ax22x+20的解集为a0且（2）PQ=，问题等价于xP，ax22x+20恒成立，a4【点评】本题考查了集合中的参数取值问题，属于中档题在处理恒成立问题时，用变量分离的方法可以简化运算18设函数f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求I的长度（注：区间（a，）的长度定义为）；（）给定常数k（0，1），当1ka1+k时，求I长度的最小值【考点】导数的运算；一元二次不等式的解法 【专题】压轴题；函
27、数的性质及应用【分析】（）解不等式f（x）0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（）由（）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案【解答】解：（）因为方程ax（1+a2）x2=0（a0）有两个实根x1=0，0，故f（x）0的解集为x|x1xx2，因此区间I=（0，），区间长度为；（）设d（a）=，则d（a）=，令d（a）=0，得a=1，由于0k1，故当1ka1时，d（a）0，d（a）单调递增；当1a1+k时，d（a）0，d（a）单调递减，因此当1ka1+k时，d（a）的最小值必定在a=1k或a=
28、1+k处取得，而=1，故d（1k）d（1+k），因此当a=1k时，d（a）在区间1k，1+k上取得最小值，即I长度的最小值为【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力19（13分）定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k3x）+f（3x9x2）0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断 【专题】计算题；证明题【分析】（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意
29、x都有f（x）=f（x）成立在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=x可得f（0）=f（x）+f（x）于是又提出新的问题，求f（0）的值令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明（2）先将不等关系f（k3x）+f（3x9x2）0转化成f（k3x）f（3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k的取值范围【解答】解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，yR），令x=y=0，代入式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0令y=x，代入式，得f（xx）=f（x）+f（
30、x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（x）即f（x）=f（x）对任意xR成立，所以f（x）是奇函数（2）解：f（3）=log230，即f（3）f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数f（k3x）f（3x9x2）=f（3x+9x+2），k3x3x+9x+2，令t=3x0，分离系数得：，问题等价于，对任意t0恒成立，【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题说明：问题（2）本题解法：是根据函数的性质f（x）是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f（t）=t2（1+k）t+2对于任意t0恒成立对
31、二次函数f（t）进行研究求解20（13分）某工厂有216名工人，现接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置（完成自己的任务后不再支援另一组）设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）（1）写出g（x），h（x）的解析式g（x）=，h（x）=；（2）写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式f（x）=，xN；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的
32、时间最少？加工G型装置的工人有86或87人，其他人加工H型【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】（1）由题意，g（x）=，h（x）=，（0x216，xN），注意注明取值范围；（2）由实际问题可得，f（x）是h（x）与g（x）中的较大的一个，从而解得；（3）求函数的最小值点即可【解答】解：（1）由题意，g（x）=，h（x）=（0x216，xN）；（2）令，则x86.4，故f（x）=，xN；（3）当x=86时，f（x）=，当x=87时，f（x）=；故当加工G型装置的工人有86或87人，其他人加工H型时，用时最少【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能
33、力，属于中档题21（13分）设函数fn（x）=xn+bx+c（nN+，b，cR）（1）设n2，b=1，c=1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，xn的增减性【考点】数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据 fn（）fn（1）=（）10，以及fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在1，1上的最大值与最小值的差M4，分
34、当1时、当10时、当01 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求（3）证法一：先求出fn（xn）和fn+1（xn+1）的解析式，再由当xn+1时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+11+xn+11=fn（xn+1），且fn（x）在区间内单调递增，故有xnxn+1，从而得出结论证法二：设xn是fn（x）=xn+x1在内的唯一零点，由fn+1（xn） fn+1（1）0可得 fn+1（x）的零点在（xn，1）内，从而有 xnxn+1 （n2），由此得出结论【解答】解：（1）由于n2，b=1，c=1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x1，fn（）fn（1）=（）10，fn
35、（x）在区间内存在零点再由fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，故函数f2（x）在1，1上的最大值与最小值的差M4当1时，即b2或 b2时，M=|f2（1）f2（1）|=2|b|4，这与题设相矛盾当10时，即0b2时，M=f2（1）=4 恒成立当01 时，即2b0时，M=f2（1）=4 恒成立综上可得，2b2（3）证法一：在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x1在内的唯一零点，则有fn（xn）=+xn1=0，fn+1（xn+1）=+xn+11=0当xn+1时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+11+xn+11=fn（xn+1）由（1）知，fn（x）在区间内单调递增，故有xnxn+1，故数列x2，x3，xn单调递增数列证法二：设xn是fn（x）=xn+x1在内的唯一零点，fn+1（xn） fn+1（1）=（+xn1）1=+xn1+xn1=0，故fn+1（x）的零点在（xn，1）内，xnxn+1 （n2），故数列x2，x3，xn单调递增数列【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题
