1、莆田四中2013届高三（11）上学期第1次月考试卷 数学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合则=（ ） A B C D2. 已知，则“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，输入的的值为( )A B C D4. 在中，已知分别为所对的边，为的面积.若向量，且,则（ ）A B C D 5.设是等差数列的前项和，,则的值为（ ）A B C D 6若点是的外心，且，则实数的值为（ ）A B C D7.双曲线的离心率为，且
2、一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）A BC D 8.如果函数的图象在处的切线过点（），并且与圆：相离，则点与圆的位置关系是（ ）A在圆内 B在圆外 C在圆上 D不能确定9.如图所示，在一个边长为的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A B. C. D. 10对于任意的实数，记，若,其中函数是奇函数，且在处取得极小值，函数是正比例函数，其图象与时的函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法中，正确的是( )A.为奇函数B.有极大值C.的最小值为，最大值为D.在上为增函数二、填空题：
3、 本大题共5小题，每小题4分，共20分11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校名授课教师中抽取名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图如图所示据此可估计该校上学期名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为_； 12.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_（公式：球的体积）13. 若变量满足约束条件，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为 ；14. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，,原点到直线的距离为，则椭圆的离心率为 ；15.记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数
4、列的前项依次为；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分13分）已知函数，是的导函数（）求函数的最大值和最小正周期； （）若，求的值17. （本小题满分13分） 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间（单位：年）有关.若，则销售利润为元；若，则销售利润为元；若，则销售利润为元.设每台该种电器的无故障使用时间，这三种情况发生的概率分别为、,且、又知是方程的两个根，且。（）求、的值；（）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的
5、分布列和数学期望。18. （本小题满分13分）如图，在三棱锥中，平面，,分别是棱的中点，连接. （）求证: 平面平面;（）若, 当三棱锥的体积最大时, 求二面角的余弦值.19（本题满分14分）已知过点的动直线与圆相交于两点，是中点，与直线相交于（）求证：当与垂直时，必过圆心；（）当时，求直线的方程；（）求证：为定值，并求出该定值。20（本题满分14分）函数,其中为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行()求此平行线的距离；()若存在x使不等式成立，求实数的取值范围； ()对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大
6、于21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，且。（）求实数的值；（）求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的方程。（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆上的点到直线的距离的最小值.(3) （本小题满分7分）选修45 ：不等式证明选讲已知正实数、满足条件，() 求证：；（）若，
7、求的最大值莆田四中2013届高三（11）第1次月考试卷答案 一、选择题：题号12345678910答案AACBACDADB二、填空题：11.； 12.； 13.； 14. ； 15.解析若，根据 当时，, 同理, 故对.对于可以采用特殊值列举法：当时，, 此时均对.当时， 此时均对当时，, 此时均对综上，真命题有 .三、解答题：16.解：（）由已知得， 3分，则其最大值为，最小正周期为.7分（）若，则， 10分 13分17.解：（）， ,从而3分（）由题意知 4分 9分的分布列010020030040010分 = 13分18（） 证明: 分别是棱的中点， 是的中位线. . 平面平面 平面. 同
8、理可证 平面. 平面,平面, 平面/ 平面. （） 求三棱锥的体积的最大值, 给出如下两种解法:解法1: 由已知平面, , . 三棱锥的体积为当且仅当时等号成立，取得最大值,其值为, 此时. 解法2：设，在Rt中，. 三棱锥的体积为 , 当，即时，取得最大值，其值为，此时. 求二面角的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作,垂足为, 连接. 平面，平面平面, 平面. 平面, . , 平面.平面, . 是二面角的平面角. 在Rt中, .在Rt中,.二面角的平面角的余弦值为. 解法2:分别以所在直线为轴, 轴, 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则. . 设n为平面的法向量, 即令, 则.
9、 为平面的一个法向量. 平面的一个法向量为,. 二面角的平面角的余弦值为. 19解：（）与垂直，且故直线方程为即 2分圆心坐标（0，3）满足直线方程，当与垂直时，必过圆心 3分（）当直线与轴垂直时，易知符合题意5分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为即，则由，得， 8分直线 故直线的方程为或9分（）9分当与轴垂直时，易得 则又，当的斜率存在时，设直线的方程为则由得 则 13分综上所述， 14分20. 解：（）， 的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即又，。，函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,两平行切线间的距离为。（）由得，故在有解，令，则。当时，；当时，故即
10、在区间上单调递减，故，即实数m的取值范围为。（）解法一：函数和的偏差为：，设为的解，则当，；当，在单调递减，在单调递增，故即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。解法二：由于函数和的偏差：，令，；令，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。21.（1）选修4-2：矩阵与变换（）由题设得：解得：-3分（）设直线上的任意点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是点，由得：点必在上，由的任意性可知，直线在矩阵所对应的线性变换作用下的像的方程为。-7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程（）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. -2分所以，该直线的直角坐标方程为：-3分（）圆的普通方程为：-4分圆心到直线的距离-5分所以，圆上的点到直线的距离的最小值为-7分选修45 不等式证明选讲 解：()由柯西不等式得代入已知 a+b+c=3 当且仅当 a=b=c=1，取等号。3分（）由得，若，则，所以，当且仅当 a=b= 1时，有最大值1。7分