1、上饶市2020-2021学年度第一学期期末教学质量测试高二数学(文科)试题卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1. 设，则=（ ）A. 2B. C. D. 12. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）A. 25B. 24C. 29D. 193. 某学生一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图
2、所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（ ）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%4. 利用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ）A. a，b，c中至多有一个数大于1B a，b，c中至多有一个数小于1C. a，b，c中至少有一个数大于1D a，b，c中都小于15. 执行如图所示的算法，若输出的结果，则输入的x满足（ ）A. B. C. 或D. 6. 已知，且，则（ ）A. 5B. C. 10D. 7. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则=（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点到平面的
3、距离为（ ）A. 4B. 5C. D. 9. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数、，则直线与相切的概率为（ ）A. B. C. D. 10. 边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则圆周率的值为（ ）A. B. C. D. 11. 若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A. 1B. 1.5C. 0.75D. 1.7512. 已知是半圆O的直径，三角形的顶点CD在半圆弧上运动，且，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二填空题(本大题共4个小题，每小
4、题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上)13. 设为虚数单位，若复数满足，则_.14. 已知随机事件A，B互对立事件，且，则_.15. 锐角中，内角、所对的边分别为、，且，则面积的取值范围是_.16. 给出下列说法：回归直线恒过样本点的中心；两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位.其中说法正确的是_.三解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明演算步骤)17. 已知，且向量在向量方向上的投影为，求：（1）与的夹角;（2）.18. 已知
5、m实数，i为虚数单位，设复数.（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的复点在直线的右下方，求m的取值范围.19. 设x，y满足约束条件.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域；（2）若目标函数的最大值为1，求的的最小值.20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示已知通过该隧道车辆的平均速度为（1）求，的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如
6、表所示，判断是否有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要男司机7030女司机5050附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形中，边的中点为D，求证：向量.（2）已知，且，求证：.22. 已知关于的一元二次方程，记该方程有两个不等的正实根为事件.（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为、，求事件发生的概率；（2）利用计算器产生两个随机数、，且，若，求事件发生的概率.上饶市2020-2021学年度第一学期期末教学质量测试高二
7、数学(文科)试题卷（解析版）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1. 设，则=（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先化简，即得解.【详解】由题得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号
8、为（ ）A. 25B. 24C. 29D. 19【答案】C【解析】【分析】根据随机数表结合编号逐次取可得正确的编号.【详解】从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，依次取出的编号为：25，30，24，29，故选出来的第4个学生的编号为29.故选：C.3. 某学生一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（ ）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%【答案】D【解析】【分析】根据图2可得牛奶开支占食品开支的比例，结合图1，即可得答案.【详解】由图2可得，牛奶开支占食品开支比例为，根据图1可得该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为.故选
9、：D4. 利用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ）A. a，b，c中至多有一个数大于1B. a，b，c中至多有一个数小于1C. a，b，c中至少有一个数大于1D. a，b，c中都小于1【答案】D【解析】【分析】否定原命题的结论可得结果.【详解】“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”的否定为：a，b，c都小于1，故选：D5. 执行如图所示的算法，若输出的结果，则输入的x满足（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式后可得输入的输入的的取值范围.【详解】流程图的作用是求分段函数的函数值.的解即为或，故或，故选：C.6. 已知，且，则（
10、）A. 5B. C. 10D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解，再根据向量线性运算公式以及模长公式求解即可.【详解】由，得，解得，故，故选：B.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用7. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用表示，再结合可得正确的表示形式.【详解】因为，故，故选：C.8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）A. 4B. 5C
11、. D. 【答案】A【解析】【分析】类比可得，点到平面的距离为，即为即可得出结果.【详解】类比可得，点到平面的距离为，故点到平面的距离：，故选：A.9. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数、，则直线与相切的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过直线与圆相切以及点到直线距离公式得出，然后通过题意确定数对一共有多少种以及满足的数对有几种，最后通过概率计算公式即可得出结果【详解】因为直线与圆相切，所以圆的圆心为，圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，因为一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数为、，所以数对共有种，其中满足的数对有、三种，故，故选【点睛】本题考查直
12、线与圆的位置关系以及古典概型的相关计算公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，考查计算能力与推理能力，是中档题10. 边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则圆周率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的思想,求出圆的面积占正方形面积的比例即为豆落在圆内的概率,再化简求得圆周率的表达式即可.【详解】根据几何概型可知, 边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中机扔一粒豆子它落在该圆内的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查了根据几何概型的运用,属于基础题.11. 若为不等式组表示的平
13、面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A. 1B. 1.5C. 0.75D. 1.75【答案】D【解析】【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可.【详解】如图，不等式组 表示的平面区域是，动直线 (即)在轴上的截距从-2变化到1，知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为： .故选:.【点睛】本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题.12. 已知是半圆O的直径，三角形的顶点CD在半圆弧上运动，且，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）
14、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，其中，求出、的坐标后可求数量积的取值范围.【详解】如图，设，其中，所以， ，因，故，故，故.故选：A.【点睛】方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量二填空题(本大题共4个小题，每
15、小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上)13. 设为虚数单位，若复数满足，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的四则运算可求得，利用共轭复数的定义可求得复数.【详解】，因此，.故答案为：.14. 已知随机事件A，B互为对立事件，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据对立事件的概率关系可求.【详解】因为随机事件A，B互为对立事件，故，而故，故，故答案为：.15. 锐角中，内角、所对的边分别为、，且，则面积的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出的值，可求得角的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得面积的取值范
16、围.【详解】由正弦定理可得，所以，可得，所以，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，解得，则.因此，面积的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.16. 给出下列说法：回归直线恒过样本点的中心；两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位.其中说法正确的是_.【答案】.【解析】【分析
17、】中，根据回归直线方程的特征，可判定是正确；中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；中，根据方差的计算公式，可判定是不正确的；中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】解:对于中，回归直线恒过样本点的中心所以正确；对于中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；对于中，根据平均数的计算公式可得,根据方差的计算公式，所以是不正确的；对于中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.故答案为：.【点睛】关键点点晴：本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的
18、特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键.三解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明演算步骤)17. 已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：（1）与的夹角;（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，进而得出，即可求得.（2）根据数量积的定义即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，所以.又因为，所以.（2）.【点睛】本题考查了向量夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.18. 已知m为实数，i为虚数单位，设复数.（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的复点在直线的右下方，求m的取值范围.【答案】
19、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；（2）根据题意，可得复数z对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：，解得；（2）复数z对应的点的坐标为，直线的右下方的点的坐标应满足，所以，解得，所以m的取值范围为.19. 设x，y满足约束条件.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域；（2）若目标函数的最大值为1，求的的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为4.【解析】【分析】（1）由题意可知不等式组表示的平面区域为在第一象限内两直线与轴所围成的区域；（2）由图可知当直线经过可行域上的点C时取得最大值1，即
20、有，从而有，化简后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：（1）画出约束条件表示的平面区域，如图阴影四边形所示；由题意知，由，解得，即；（2）目标函数经过可行域上的点C时取得最大值1，即；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为4.20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示已知通过该隧道车辆的平均速度为（1）求，的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有
21、的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要男司机7030女司机5050附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510828【答案】（1），中位数为；（2）有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关【解析】【分析】（1）根据频率和为以及平均数为可以建立起关于，的二元一次方程，从而可以求出，的值，进而可以由频率分布直方图求出中位数；（2）根据的计算公式计算出的值，与临界值比较，即可得出结论.【详解】（1）根据频率和为可得：，化简为，又，所以，由联立得，；由于前两块矩形的面积分别为和，故所
22、求的中位数为；（2）根据表中数据，计算，所以有的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关21. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形中，边的中点为D，求证：向量.（2）已知，且，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）用综合法证明：因为，由化简得证；（2）用分析法证明：要证，即证，逐步推出其成立的充分条件.【详解】证明：（1），（2）要证，只要证即证即又因为即证即证即证又因为，即证，又因为即证即证又由已知，故原不等式成立.【点晴】方法点晴：综合法由定义、定理公理等逐步推出结论成立；分析法从结论出发，推出其成立的充分条件，直到得到一个显然成立的条件.2
23、2. 已知关于的一元二次方程，记该方程有两个不等的正实根为事件.（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为、，求事件发生的概率；（2）利用计算器产生两个随机数、，且，若，求事件发生的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算出基本事件的总数，列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得，即为所求；（2）根据题意求出事件所构成的区域，作出图形，利用面积比可求得，即为所求.【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子所得点数构成有序数对的所有基本事件数为，用事件表示“方程有两个不等的正实数根”，则且，则事件包含的基本事件有：、，共个基本事件，所以，；（2）用事件表示“方程有两个不等的正实数根”，所以事件构成的区域如下图中的阴影部分区域如下图所示：阴影部分区域的面积为，因此，.【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下：（1）长度型；（2）面积型；（3）体积型.
