湖南省株洲市2021届高三数学下学期教学质量统一检测试题（二）（含解析）.doc

1、湖南省株洲市2021届高三数学下学期教学质量统一检测试题（二）（含解析）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A.2B.C.D.2.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ） A.-1B.0C.1D.23.2015年11月23日，中共中央政治局审议通过关于打赢脱贫攻坚战的决定，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.270种B.240种C.210种D.180种4.在 中，内角ABC所对的边分别为abc，若 ，则角C的大小为（ ） A.B.C.D.5.如图为学生

2、做手工时画的椭圆 (其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为 ，则（ ） A.B.C.D.6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 与时间 的关系为 .如果在前5个小时消除了 的污染物，那么污染物减少 需要花的时间为（ ） A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时7.若函数 的大致图象如图所示，则（ ） A.B.C.D.8.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有，两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤

3、，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ，若住同一地方的甲、乙两人分别有 分钟与 分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A.、B.、C.、D.、二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 10.若正实数a，b满足 且 ，下列不等式恒成立的是（ ） A.B.C.D.11.

4、已知点 、 、 、 ，若这四个点中有且仅有两个点在函数 的图象上，则正数 的可能值为（ ） A.2B.4C.8D.1212.如图所示，在正方体 中，E是棱 的中点，F是侧面 ，(包含边界)内的动点，且 平面 ，下列说法正确的是（ ） A. 与BE是异面直线B. 不可能与 平行C.DF不可能与平面 垂直D.三棱锥 的体积为定值三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 ，则 在点 处的切线方程为_. 14.已知数列 为等比数列，若数列 也是等比数列，则数列 的通项公式可以为_.（填一个即可） 15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 与 上的两点， ，M为动点，且 ，记三角形 的面积分别为

5、 ，若 ，则 的取值范围是_. 16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_ .现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_. 四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中， . （1）求 的大小； （2）若 ，求 周长的最大值. 18.已知复数 ，满足 ，其中i为虚数单位， 表示 的共轭复数. （1）求 的值； （2）求 . 19.如图，在直角

6、梯形ABCD中， ，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形 的位置，使平面 平面ABCD，M为 的中点，如图. （1）证明：直线DC与直线 相交； （2）求直线BM与平面 所成角的正弦值. 20.已知点 (其中 )是曲线 上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点BC，且 . （1）当点B的坐标为 ，且 时，求直线AD的方程； （2）记 的面积为 ，梯形ABCD的面积为 ，求证： . 21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌

7、、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .

8、（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.3024.870.411.64表中， .根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）.22.已知函数 (其中常数 ). （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个极值点 ，且 ，求证： . 答案解析部分湖南省株洲市2021届

9、高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A.2B.C.D.【答案】 A 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】集合 ，集合 ， 所以 .故答案为：A. 【分析】 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可2.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ） A.-1B.0C.1D.2【答案】 C 【考点】向量的模，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】因为 ，所以 ， 将 两边同时平方可得： ，即 ， 所以 ，解得 ，故答案为：C 【分析】 通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可3.2015年11月23日，中共中央政治局审议通

10、过关于打赢脱贫攻坚战的决定，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.270种B.240种C.210种D.180种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有 故答案为：C 【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。4.在 中，内角ABC所对的边分别为abc，若 ，则角C的大小为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】【解答】因为 ， 所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 所以 故答案为：A

11、 【分析】利用两角和的正弦公式可得答案。5.如图为学生做手工时画的椭圆 (其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为 ，则（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由图知椭圆 的半长轴和半短轴分别为： ， 椭圆 的半长轴和半短轴分别为： ，椭圆 的半长轴和半短轴分别为： ，所以 ， ， ，所以 ，故答案为：D 【分析】 由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得结论6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 与时间

12、 的关系为 .如果在前5个小时消除了 的污染物，那么污染物减少 需要花的时间为（ ） A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时【答案】 B 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】【解答】因为前5个小时消除了 的污染物， 所以 ，解得 ，所以 ，设污染物减少 所用的时间为t，则 ，所以 ，解得 ，故答案为：B 【分析】 由已知t=5h时，P=（1-10%）P0=90%P0，从而求出k的值，根据题意污染物减少 即 ， 再利用指数和对数的运算即可求出t的值7.若函数 的大致图象如图所示，则（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】函数的图象 【解析】【解答】令 得 ，即 ， 解得 ，由

13、图象知 ，当 时， ，当 时， ，故排除AD，当 时，易知 是减函数，当 时， ， ，故排除C故答案为：B 【分析】 通过函数值为0，求出x 的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可8.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有，两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ，若住同一地方的甲、乙两人分别有 分钟与 分钟可用，要使两人按时到达车站的可

14、能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A.、B.、C.、D.、【答案】 B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】对于甲，若有 分钟可走，走第一条线路赶到的概率为 ， 走第二条线路赶到的概率为 ， ，所以甲应走线路；对于乙，若有 分钟可走，走第一条线路的概率为 ，走第二条线路赶到的概率为 ， ，所以乙应走线路.故答案为：B. 【分析】分别比较甲、乙走路线 ， 的概率大小，由此可得出结论。二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰

15、有1个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 【答案】 A,B 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】对于A选项，2个球都是红球的概率为 ，A选项正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为 ，B选项正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为 ，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为 ，D选项错误.故答案为：AB. 【分析】 设从甲袋中摸出一个红球为事件A，从乙袋中摸出一个红球为事件分别根据概率公式计算即可10.若正实数a，b满足 且 ，下列不等式恒成立的是（ ） A.B.C.D.【答案】 C,D 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数

16、函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】由 有 或 ， 对于A，当 或 都有 ，A不符合题意；对于B，比如当 时，有 故 不成立，B不符合题意；对于C，因为 ，所以 ，则 ，C符合题意；对于D，因为 ，所以 ，D 正确，故答案为：CD 【分析】 判断a，b的大小，利用特殊值判断选项即可11.已知点 、 、 、 ，若这四个点中有且仅有两个点在函数 的图象上，则正数 的可能值为（ ） A.2B.4C.8D.12【答案】 B,C 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】对于A选项，当 时， ， ， ， ， ，此时， 、 、 三点在函数 的图象上，A选项不合乎题意；对于B选项，当 时， ， ， ， ，

17、，此时， 、 两点在函数 的图象上，B选项合乎题意；对于C选项，当 时， ， ， ， ， ，此时， 、 两点在函数 的图象上，C选项合乎题意；对于D选项，当 时， ， ， ， ， ，此时， 点在函数 的图象上，D选项不合乎题意.故答案为：BC. 【分析】 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数的最小值，从而得出结论12.如图所示，在正方体 中，E是棱 的中点，F是侧面 ，(包含边界)内的动点，且 平面 ，下列说法正确的是（ ） A. 与BE是异面直线B. 不可能与 平行C.DF不可能与平面 垂直D.三棱锥 的体积为定值【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异

18、面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】取 的中点N，M，连接 ， 则 ，又 面 ， 面 ， ， 面 ， 面 ，所以面 面 ，又 平面 ， 平面 ，所以点F的轨迹是线段MN，对于A：因为 ，所以点F一定不在 上，所以 与BE是异面直线，A符合题意；对于B：当点F与点N重合时， ，B不正确；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中 面 ，若 面 ，则 ，这显然不可能，所以DF不可能与平面 垂直，C符合题意；对于D：因为 ， 面 ， 面 ，所以 面 ，所以点F到面 的距离是定值，所以三棱锥 的体积为定值，D符合题意，故答案为：ACD 【分析】取 的中点N，M，连接 ，对于

19、A：因为 ，所以点F一定不在 上，所以 与BE是异面直线；对于B：当点F与点N重合时， ； 对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中 面 ，若 面 ，则 ，这显然不可能，所以DF不可能与平面 垂直；对于D：因为 ， 面 ， 面 ，所以 面 ，所以点F到面 的距离是定值，所以三棱锥 的体积为定值。三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 ，则 在点 处的切线方程为_. 【答案】 ex-y-e=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 在点 处的切线方程为 ，即ex-y-e=0 故答案为：ex-y-e=0 【分析】求导得 ，即可得出 在点 处的切线方

20、程。14.已知数列 为等比数列，若数列 也是等比数列，则数列 的通项公式可以为_.（填一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】取 ，则 ， ， 所以，数列 和 都是等比数列.故答案为： （答案不唯一）. 【分析】 直接利用等比数列的通项公式求出首项和公差，进一步确定数列的通项公式.15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 与 上的两点， ，M为动点，且 ，记三角形 的面积分别为 ，若 ，则 的取值范围是_. 【答案】【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】【解答】依题意得点M在以 为圆心半径为1的圆上，如图所示： 依题意得 ， ，又因为 所以 ，当直

21、线 与圆 相切时， ，得 ，又因为 所以 ， ，此时 或 ， 此时 所以 故答案为： 【分析】依题意得点M在以 为圆心半径为1的圆上，依题意得 ， ， ， ， ， 即可得出 的取值范围 。16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_ .现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_. 【答案】；【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】正四棱锥的表面积为 ， 如

22、下图所示： 设正四棱锥 底面 的中心为点 ，则 底面 ， ， ， ，设正四棱锥 的内切球球心为 ，球 的半径为 ，由 ，所以， ，所以， .故答案为： ； . 【分析】 由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，作比得答案四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中， . （1）求 的大小； （2）若 ，求 周长的最大值. 【答案】 （1）解：因为 ，且 ， 所以 ， ， ，因为 ，所以 ；（2）解：由正弦定理得 ， 所以 ，所以 的周长为 ， ， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 的周长的最大值

23、为 .【考点】两角和与差的正切公式，正弦定理 【解析】【分析】（1）利用两角和差的正切公式即可求出 的大小 ； （2）由正弦定理可得 ，即可得 的周长为 ，由 得 ， 可得 的周长的最大值 。18.已知复数 ，满足 ，其中i为虚数单位， 表示 的共轭复数. （1）求 的值； （2）求 . 【答案】 （1）解：由题意知， ， ；（2）解： ； ， 又 ， 则 是以 为首项， 为公差的等差数列， ， 故 【考点】复数求模 【解析】【分析】（1） 由题意知， ，再根据模长公式得出 的值 ； （2）由 ，得 ， 则是以为首项，为公差的等差数列， 进而得出 .19.如图，在直角梯形ABCD中， ，四边形

24、ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形 的位置，使平面 平面ABCD，M为 的中点，如图. （1）证明：直线DC与直线 相交； （2）求直线BM与平面 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 设AD=1，则 ，所以 ，所以 ，则 ，因为 不重合，所以 ，所以 四点共面，在直角梯形ABCD中，因为 ，设 ，则 ，所以 平面 ， 平面 又因为平面 平面 ，所以 ，所以直线DC与直线 相交；（2）解：由（1）知 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，设直线BM与平面 所成的角为 ，所以 ，故直线BM与平面 所成角的正弦值是 【考点】用空间

25、向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1） 建立如图所示空间直角坐标系， 设AD=1，求出D，C，E1 ， M的坐标，得出 ， 则， 所以四点共面， 再由 平面平面 ，可得 直线DC与直线相交 ； （2）利用向量法可求出 直线BM与平面所成角的正弦值 。20.已知点 (其中 )是曲线 上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点BC，且 . （1）当点B的坐标为 ，且 时，求直线AD的方程； （2）记 的面积为 ，梯形ABCD的面积为 ，求证： . 【答案】 （1）解：由题知点 的坐标为 ， 因为 ，所以点 ，故点 ， ，因为点 ，点 在曲线上，满足曲线方程，故 ， ，故点 ， ，所以直线

26、 的方程为 ；（2）解：设直线 方程为 ， 联立 ，因为直线与曲线相交于两点，所以 ，根据韦达定理有 ，所以 ，原点 到直线 的距离 ，所以 ， ，故 ，由题知 ，又因为 代入曲线方程有 ，有 ，所以 ，所以 ，故 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 （1）由B的坐标，可得A的坐标，又 ，可得D的坐标 ，运用直线的斜率公式，即可得到所求直线方程； （2）设直线AD的方程为y=kx+mM（0，m），运用三角形的面积公式可得 ，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2 ， 进而得到所求范围21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌

27、宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件

28、产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.3024.870.411.64表中， .根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）

29、.【答案】（1）解：设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，所以随机变量的分布列为：1.53.55.50.150.450.4所以，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）解：（i）由得，令，则，由表中数据可得，则，所以，即，因为，所以，故所求的回归方程为；（ii）设年收益为万元，则，设，则，当时，在单调递增，当时，在单调递减，所以，当，即时，有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.【考点】频率分布直方图，线性回归方程 【解析】【分析】 （1）设每件产品

30、的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，求出概率，得到分布列，然后求解期望； （2）（i）由y=axb得，lny=ln（axb）=lna+blnx，令u=lnx，=lny，c=lna，可得=c+bu，求出回归直线方程的系数，然后求解y关于x的回归方程； （ii）设年收益为z万元，则 ， 利用换元法，以及函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出结果22.已知函数 (其中常数 ). （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个极值点 ，且 ，求证： . 【答案】 （1）解： ， 记 ， ，当 ，即 时， ，故 ，所以 在 单调递增当 ，即当 时， 有两个实根 ， ，注意到 ， （1） 且对称轴 ，故 ， ，所以当 或 时， ， ， 单调递增；当 时， ， ， 单调递减综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减（2）解： 有两个极值点 ，且 ， 为 的极大值点 由（1）知， ，又 ， 设 单调递增， 即 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】（1）求导得 ， 记，分两种情况讨论 当 ， 当的正负，即 的正负，进而得出 的单调性 ； （2）求出 ， 设 ，根据函数的单调性证明即可