1、教材习题答案 第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 空间向量及其运算练习 解析（）共面（）共面（）不共面解析 （）()（）解析（）（）解析 不能否则，三个向量共面解析（）恒成立（）恒成立（）恒成立练习 解析 成立当 与 方向相反时，左边等号成立；当 与 方向相同时，右边等号成立解析（）（）解析（）（或）（）（或）（）（）（）解析（）（），（）（）（）解析 等式两边同时平方，得 ，解析 ，空间向量基本定理练习 解析 是解析 是解析 是解析 ，解析 ，练习 解析 不一定解析 （）（）（）（）解析 解析（）（）解析 （）（）空间向量的坐标与空间直角坐标系练习 解析（）（，）（）（，）（
2、）（，）解析（）（，）（）（）（，）（，）（，），（，）（，）（，），（）（）（）解析（）平行（）平行解析（）垂直（）垂直解析（）第卦限：（，），第卦限：（，），第卦限：（，），第卦限：（，），第卦限：（，），（）轴上：（，），平面上：（，），平面上：（，），解析 解析，()解析（）设（，），则，（，）（）由已知可得 （，）（，）（，），所以（，）解析（）（，）（）（，）练习 解析 ，（），（），（），（），（），（），解析（）（）（）易得 （，），（，），（）（）解析（）（）解析（），（），解析 ，解析 ，解析 ；解析 （，），（），（），解析（，）（）习题 1-1A 解 析 （），（），解
3、析 ，()，()，()，()，()，()，(，)，()解析（）（）（）（）解析 （，），（，），（）解 析 （）（），与 方 向 相 同 的 单 位 向 量 为 ，（）（），与 方 向 相 同 的 单 位 向 量 为 ，()答案 解析 点 关于 轴的对称点是（，），故错误；点 关于 平面的对称点是（，），故错误；点 关于 轴的对称点是（，），故错误；正确解析 （）（）（），（）（）（），（）（）（），体对角线长：解析 图略（）（为 的中点）（）（为 的中点）（）（为 的中点）习题 1-1B解析（）（）（）解析，解析 ，解析 不一定，因为，可能共面解析 由题可知，的中点均为 （，），（，），（，
4、），（，）解析 （）（）解析（），（），即 ，（），即 ，（）等式两边同时平方得 ，解析（）证明：（，），（，），（，），（），解析 设点 的坐标为（，），（，），（，），（，），（，）又 ，即 ，点 的坐标为，()解析 （，），（，），假设存在实数，使与 垂直，则（）（）（），解得 存在实数，使与 垂直，此时 解析 设点（，）四边形 是平行四边形，（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（，），即，解得 ，故点（，）解析（）（，），（，），（）在上的投影的数量为 ，解析 设，则 ，（）（）（）()（）（）（）()（）()习题 1-1C解析 向量，一定共面因为存在不全为 的，满足
5、 ，教材习题答案 所以不妨设，则 ，所以，共面解析 假设、三个向量共面，则这三个向量必线性相关，即存在实数，使，即（）（）（），从而有 ，即存在 ，使、线性相关、三个向量共面解析 向量，都与和共面，只有满足要求解析 若 且 ，则（）（）（）由共面向量定理可知，、三个向量共面，所以点 在平面 内反之，如果点 在平面 内，类似地可以证明存在，且 ，方法同上解析 由已知得该四面体为正四面体（），（）（）（）（）（）（）1.2 空间向量在立体几何中的应用 空间中的点、直线与空间向量练习 解析（，）（答案不唯一）解析（），且 与 不重合，（），且 与 不重合，解析 ，直线，所成角的大小为 解析 设（，）
6、，把坐标代入上式得（，）（，）（，）（，），点 的坐标为（，）解析 是练习 解析 是理由如下：，又，为非零向量，存在非零实数，使得 解析 设（，），则（，），（，）由题意得 ，所以（，）（，），解得 ，()解析（），（），又，易得，（），解析 以 为原点，的方向分别为 轴，轴，轴正方向，的长度为单位长度，建立空间直角坐标系（图略）则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）假设满足条件的，存在，且 （，），（，），则（，），从而，（），（）（），解得 ，因此，满足条件的，是存在的证明 （）（）（），空间中的平面与空间向量练习 解析（），（），解析 ，解析 是练习 解析 是理由如下：
7、，易知，为非零向量，存在非零实数，使得 证明 设两平面分别为，是平面 内的两条相交直线，且，是平面 的法向量，则，若记表示 的有向线 段 所 在 的 直 线为 则有，又，相交，解析 易得 （，），（，）设平面 的一个法向量为 （，），则 ，令 ，则 ，（，）证明 因为 底面，所以 为 在底面 内的射影又，所以由三垂线定理的逆定 理可得 又因为底面 是平行四边形，所以四边形 是矩形解析 因为 ，为 的中点，所以，即 因为 平面，所以 为 在平面 内的射影，所以由三垂线定理可得 直线与平面的夹角练习 解析 解析（）（）解析 如图（）所示，可以看出，如图（）所示，可以看出，练习 解析 对角线 与平面
8、 所成的角为，与平面 所成的角为，与平面 所成的角为，这些角的余弦值都是 解析 设斜线与平面 所成的角为，根据三余弦定理可得 ，即 ，则 ，则 故答案为 解析 以边，所在直线分别为 轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）设平 面 的 一 个 法 向 量 为 （，），则，取 ，则 （，）设 与平面 所成的角为，则 ，二面角练习 解析 ，解析 因为，、分别在二面角的两个半平面内，且二面角为，所以，即 （），所以 的长为 解析 ，练习 解析 由题易得 （，），（，）设平面 的一个法向量为（，），则 ，令 ，则 ，所以平面
9、的一个法向量为 （，）易得平面 的一个法向量 （，），平面 的一个法向量 （，），平面 的一个法向量 （，），同理可得 ，所以平面 与平面、所成角的余弦值分别为 ，解析 因为三个侧面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面积的，且正三棱锥 的四个面面积相同，由 射影斜面知，侧面和底面所成二 面 角（显 然 为 锐 角）的 余 弦 值为 解析 平面，为 在平面 内的射影 为圆的直径，为二面角 的平面角 ，二面角 的大小为 空间中的距离练习 解析 解析 是两个平行于平面 的平面，且分别位于 的两侧解析 距离平面 和 都是 的一个平面解析 解析 连接 ，由勾股定理可得 ，练习 解析 如图，连接、是
10、 的中点，是 的中点，解析 连接 并延长交 于，为正三角形 的中心，连接 平面，为 在平面 内的射影，的长为 到边 的距离 ，同理 可 得 到、的 距 离 均 为 解析 ，两两垂直，且 教材习题答案 ，（）设 到平面 的距离为，则 ，解得 到平面 的距离为 解析 （，），（，），（，），设平面 的一个法向量为 （，），则 ，令 ，则 ，()到面 的距离 解析（）以 为原点，的方向分别为 轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系（图略），则（，），（，），（，），（，）易知（，）是平面 的一个法向量 ，到平面 的距离为 （）易得平面 平面，则直线 为平面 与平面 的公垂线由（）知 到平面 的距离为
11、，同理可得 到平面 的距离为 又 ，平面 与平面 之间的距离为 习题 1-2A解析 解析 由已知可得（，），（，）设平面 的一个单位法向量为 （，），则 ，解得 ，且 所以 ，是平面 的一个单位法向量解析 解 析 （），（）（），解析 是平面 的一个法向量，平面 平面，平面 平面 解析 设直线 和平面 所成的角为，则 （），（），（），（），解析 以 为坐标原点，的方向分别为 轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系（图略）设正方体的棱长为，则（，），（，），（，），（，），（，），（，），直线 与直线 所成角的大小为 解析 习题 1-2B解析 设，则由，且 可知，即（）若，则，（），（）若，则，
12、（），解析 与，与，与 的公垂线段分别为，（为 的中点，为 的中点）解 析 （）在 矩 形 中，为 与 所成的角 平面，与 所成角的余弦值为（）平 面，平 面，与 所成角的大小为，余弦值为（）在矩形 中，为 与 所成的角 平面，与 所成角的余弦值为 解 析 易 得，两 两 互 相垂直以 为原点，的方向分别为 轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系（图略），则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）易得 ，（，），则（，）设平面 的一个法向量为 （，），则 ，令 ，得（，）设直 线 与 平 面 所 成 的 角为，则 ，解析（）以 为坐标原点，的方向分别为 轴，轴，轴正方
13、向，建立空间直角坐标系（图略），则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）设平面 的一个法向量为 （，），则 ，令 ，则（，），点 到 平 面 的 距 离 （）易知平面 的一个法向量为（，），由（）知平面 的一个法向量为（，），易知二面角 为锐二面角，二面角 的正切值为 习题 1-2C解析 易 得 （，），设 点（，）满足，且，由 得（，）（，），即（，），（，）又，即（）（）（），解得 ，因此（，），从而可知点 到直线 的距离为 （）解析（）以 为原点，的方向分别为 轴，轴，轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系（图略），则（，），（，），()，（，），()，（，
14、），()，()设平面 的一个法 向 量 为（，），则，令 ，则得（，），又 点 显然不在平面 内，平面（）结合（）可得，()，到平面 的距离为 解析 由题可知 （，），（，），（，）设平面 的一个法向量为（，），则 ，令 ，则得（，），与 之间的距离为 解析 如图，以 为原点，在平面 内过 作 的平行线为 轴，所在直线为 轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）设平面 的一个法向量为 （，），则 ，令 ，得（，），点 到平面 的距离为复习题 组解析（）（，）（，）（，）（，）（）（，），（）（，）（，）（）（）（），解析 与
15、 为共线向量，存在实数 使得，解得 ，解析 易得（，），（，），（）（）（）（），解析 设（，），（，），（，）由，得 点坐 标为 ，()又（，），解析（，），（，），（，），所以 ，所以、三点共线，构不成三角形解析 设（，）为满足条件的任一点，则由题意得 （）（）（），（）（）（），平方后化简得 即为所求点所满足的条件解析 设（，），由 ，可得（）（），解得 ，故点 的坐标为（，）解析 （，），（，），（，），（，），（，），在 上 投 影 的 数 量 为 解析 解析 过三角形外心且垂直于三角形所在平面的一条直线解析 如图，以 为原点建立空间直教材习题答案 角坐标系设正方体的棱长为，则（，）
16、，（，），（，），（，），（，），（，），（）（）（）（）（）（），直线 与 所成角的余弦值为 组 （）（）因为四边形 是正方形，是它的中心，所以 ，故原式 解析 因为 （，），（，），所以（，）（，）（，），（，），又 与 互相垂直，所以（），解得 解析 （）（）解析 以 为原点，的方向分别为 轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系（图略），则 （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），解析 ，解析 设点（，）四边形 是平行四边形，（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（，），即，解得 ，故点 的坐标为（，）证明 以 为原点，的方向分别为
17、轴、轴、轴正方向，正方体的棱长的单位长度，建立空间直角坐标系（图略），则（，），（，），()，()，()，（，），易得，且 解析 由题意可设点 的坐标为（，），则（，），（，），点 的坐标为（，）解 析 因 为 ，所以 可 得 在 平 面 的 射 影 在 的角平分线上，设射影是，连接，就 是 直 线 与 平 面 所成角，作 于，连接，设 ，则 ，所以 故直线 与平面 所成角的余弦值为 解析（）作 于点，连接，易得，两两互相垂直以 为原点，的方向分别为 轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设 ，则（，），()，()，(，)，显然 （，）为平面 的一个法向量，直线 与平面 所成角的大小为
18、 （），（，），与 所成角的大小为（）设平面 的一个法向量为 （，），则（，）（，），（，）（，），解得 ，则 （，）设二面角 的大小为，则 二面角 的正弦值为 解析 作 平面，垂足为，平面，垂足为，连接，则 ，易得 ，（）（）（），即 的长为 解析 过点 作 于，根据三余弦定理可得 ，且，即点 到直线 的距离为 组证明 设（，），则（）（）向量，不共面，解得 ，故存在实数 ，使得 ，故向量，共面解析 共面理由如下：假设存在实数、，使 ，则（）（）（），不共面，即存在实数 ，使，故、共面解析 以 所在直线为 轴，以 边上的高所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则（，），设（，），则
19、（，），（，），（），当 ，时，（）取得最小值 解析（）如图，作 平面，垂足为点 连接、，设 与 交于点，连接 ，于是 平分，点 为 的中点，由此知 为面 与面 所成二面角的平面角，由已知可求得 ，即点 到平面 的距离为 （）如图建立空间直角坐标系，则，()，(，)，中点 的坐标为，连接，（，）于是有，的夹角 等于所求二面角的平面角，于是 面 与面 所成二面角的余弦值为 解析（）证明：因为 是等边三角形，所以，又 ，所以，所以 如图，取 中点，连接，则，又，所以平面，所以（）作，垂足为，连结 因为，所以，易得 平面 因为平面，所以 设，则 在 中，由 得 ，解得 ，（）可得 为 中点由 ，得
20、，所以 所以三 棱 锥 的 体 积 解析（）如图，连接，设 交 于，连接，由题易知 平面以 为坐标原点，的方向分别为 轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则 ，于是 ，所以，从而（）由题设知，平面 的一个法向量教材习题答案 为，平 面 的 一 个 法 向 量 为 ，设所求二面角为，则 ，所以 即二面角 的大小为（）假设在棱 上存在一点 使 平面 由（）知是平面 的一个法向量且，设，则 ，（），易得，所以 ，即当 时，平面 综上所述，侧棱 上存在一点，使得平面，此时 第二章 平面解析几何2.1 坐标法习题 解析 （），的中点记为，则（）解析 （）（），的中点坐标为，()证明 （）
21、（），（）（），（）（），为等边三角形解析 设，的中点分别为，则由中点公式可得（，），（，），（，），所以三条中线的长分别为 （）（），（）（），（）（）解析 由 知，（）习题 解析 易知 ，设（），则（）（），或 ，（）或（）解析 （）（），解析 设（，），（）（）（）（）（）（），或 ，（，）或（，）即为所求证明 设 ，以 为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则（，），（，），（，），（，）设任一点（，），则 ，（）（），又 （）（），（），故 解析 设所求函数的图像上任一点（，），且（，）关于（，）对称的点为 （，），所 以，即 ，因为（，）在函数
22、的图像上，所以（），故所求函数的解析式为 （）（）习题 解析（）证明：如图 ，（，）（，），（，）图中，；图中，（，）（，）（，）图图图图图（）设 的坐标为，则当 时，（，）（，）（，）；当 或 时，（，）（，）（，）解析（）证明：设（，），（，），（，），则（，）（，），（，），（，）（，）（，）（）（）中不等式等号成立时，点 的横坐标 介 于 和 之 间（包 含，），且点 的纵坐标介于 和 之间（包含，），否则，等号不成立2.2 直线及其方程 直线的倾斜角与斜率练习 解 析 （）（）（）（）解析（）存在，斜率为（）存在，斜率为 （）不存在（）存在，斜率为 解析 直线 的 一 个 方 向 向
23、 量 （，），斜 率 （），倾 斜 角 解 析 （）（），（），不共线 （），且直线 与直线 有一个公共点，、三点共线解析 真命题练习 解析（），)，当 增大时，直线的斜率 也增大；，()，当 增 大 时，斜 率 也增大（）不能，因为 ()，如图，在，)和，()上分别递增，但其图像是不连续的，所以不能说直线的倾斜角增大时斜率也增大 解析（）存在，（）存在，（）存在，（）直线的斜率不存在，解析 ，解析 由题意得 （），解析 ，或 直线的方程练习 解析、在直线上，不在直线上解析 将两点分别代入，得 ，（），解析（）（）（）（）解析（）（）解析（）：（）（）解析（）（）解析（），（），（），练习 解
24、析（）真（）真（）真解析 直线 的倾斜角为 解析 不是直线方程，取不到点（，）解析 如图斜率分别为 和 的两条直线的倾斜角互补解析（），：（），即：（），：（），即：解析（），：（），即：（），：（），即 两条直线的位置关系练习 解析（）平行（）平行（）平行（）不平行解析（）不相交（）相交交点 ，()解析（）（）（）解析（）垂直（）不垂直解析（）（）（）练习 解析 易知（），解析 平行如图：解析 易知 设交点为，联 立，()，在第一象限，（，）解析 ，交点为（，），所求直线方程为 解析 两直线垂直，（），解析 ，所求直线的斜率 又 所求直线过（，），所求直线方程为，即 点到直线的距离练习 解
25、析 （）（）解析 ，解析 （）（）解析，练习 解析 到 的距离为 ，到 的距离为 解析 直线方程为 ，（），解析 解 析 （）（），：，点 到直线 的距离 （），习题 解析 易知 ，且直线 与直线 有公共点，、三点共线解析（）（）（）（）解析（）（）（）解析（）（）解析 （），：（），即：，：（），即：（），：（），即教材习题答案：解析（）相交，交点（，）（）相交，交点（，）解析（）（）（）（）解析 设所求点的坐标为（，），则 ，或 ，或 ，所求点的坐标为（，）或，()解析 如图，（，），（，），（，），（，），：，：，：，：解析 直线 关于 轴对称的直线方程为 ，关于 轴对称的直线方程为 解
26、析（，）关于：的对称点为（，），点 到 的距离 （）解析 如图，：，：习题 解析（）（）（）（），解析 ，三点共线，直线、的斜率存在，且 ，解析 都过点（，）解析 直线 的倾斜角为，则 的倾斜角为，：（），：解析 中点坐标为（，），所求直线斜率 ，所求方程为 （），即 解析 设直线为 或 ，直线过（，），：或 解析 ，（），直线 边上的高所在直线方程为，直线 边上的高所在直线方程为 （），即 ，直线 边上的高所在直线方程为 （），即 解析 ，（）（），或 解析 （），或 解析（）（），均不为（），且（），且（）（）解析 是解析（），：（），即：（），：，即：解析（），：（），即：（），：（），
27、即：习题 解析 设 与：平行，且：（）到 的距离等于 到 的距离，：设 与 垂直，且：，同理，或 ，：或 综上，这个正方形其他三条边所在直线的方程分别为 ，解析 由题知，的斜率存在，设：（），：，到 的距离相等，或 ，：或 解析（，）2.3 圆及其方程 圆的标准方程练习 解析（）（）（）（）（）（）解析（）（，），（）（，），（）（，），（）（，），解析 ，在圆内；，在圆上；，在圆外解析 点（，）到（，）距离 ，圆的方程：（）（）解析 练习 解析（）中点记为，则（，）为圆心，圆：（）（）（）设：（）（）将点（，）和（，）代入，得 ，圆：（）解析 设圆心（，）设：（）（）（），将（，），（，）代
28、入，得 ，圆：即为所求解析 圆（）（）中，（，）为圆心，（）（），的最大值为 圆的一般方程练习 解析（）圆心为（，），（）圆心为（，），解析（）不是圆的方程，圆的半径，它表示原点（）圆心（，），为半径（）圆心（，），半径 解析 将（，）代入圆的方程得，在圆内；将（，）代入圆的方程，得 ，在圆上；将（，）代入圆的方程，得，在圆外练习 解析 原方程可化为（），当 时，不是圆的方程，它表示原点；当，不同时为零时，表示圆心为（，），半径为 的圆解析（）()，解析 ()()，圆心 ，()，半径为解析 （，）不在圆的内部，将（，）代入圆的方程，得 ，解析 设圆：，将，代入 得，圆：直线与圆的位置关系练习
29、解析（）（）因为 ，所以直线与圆相交解析 因为圆心到直线的距离 ，所 以 直 线 与 圆 相 交 由，可得交点为（，）和（，）解析（）因为圆心到直线的距离 （）（），所以直线与圆相切（）因为圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相离解析（，），：解析：，（，），练习 解析（）易知所求切线的斜率存在设：（），：（）证明：假设所求切线的斜率存在设：（）为圆的切线，：圆 心（，）到 的 距 离 ，（），代入 得 ，易证明当斜率不存在时也成立解析 把 代入圆 ，得，（）当，即 时，有两个公共点；当 ，即 时，有一个公共点；当，即 或 时，无公共点解析 设所求直线方程为 ，代入 ，整理，得 由 ，得（）（），
30、所以 ，解得 或 故所求直线方程为 或 解析 ，：（）（），（，），（）线段 的垂直平分线方程为：（），：（）到 的 距 离 （），（）：（）（），易知 在圆外当所求切线的斜率存在时，设过 的圆 的切线方程为：（），：（，）到 的 距 离 ，：当所求切线的斜率不存在时，切线方程为 综上，所求切线方程为 或 解析 圆心，()关于 对称的点为，()，对称圆的方程为（）()圆与圆的位置关系练习 解析 由，得交点坐标为（，），（，）解析（）因为圆心分别为（，），（，），半径分别为 ，所以圆心距（）（），所以两圆外切（）因为圆心分别为（，），（，），半径分别为 ，所以圆心距（）（），因为 ，所以两圆相交
31、解析 设圆：（）（），圆：（，），与 外切，：（）（）解析 设（，），半径为，（，），与 内切，或 ，或 为所求解析（，），（，），与 外切，练习 解析：，（，），：，（，），（）（）（）与 外离，（）与 外切，（）与 相交，教材习题答案 （）与 内切，（）与 内含，解 析 因 为 圆 心 分 别 为 （，），（，），半径分别为 ，所以 若两圆外切，则 ，即 ，解得 若两圆内切，则 ，即 ，解得 综上，或 解析（，），（，），：联立 ，整理得：，：，：，中点坐标为 ，()解析 联立，整理得公共弦所在直线 的方程为 ，的圆心为（，），其到 的距离 ，圆 的半径为，习题 解析（，），到原点的距离的
32、最大值为 ，到原点的距离的最小值为 解析（）（），（）（），时，取得最小值，为 解析 由圆（）（）得圆心坐标为（，），因为圆心到直线 的距离 ，所以，所以直线与圆相切解析（，）到：的距离 ，圆的半径 到：距离的最大值为 ，最小值为 解析 解析（）（）（）（）建立如图所示的平面直角坐标系，则 当 时，（）（）；当 时，（）；当 时，（）（）习题 解析 设所求圆的方程为（）（），将（，）代入，得（）（），解得 或 故所求圆的方程为（）（）或（）（）解析 易知切线的斜率存在设切线方程为（），即 ，因为直线与圆相切，所以 ，所以 ，所以所求切线方程为 解析：（）（），（，），；：（）（），（，），（）
33、（）（）（）两圆外离时，（）两圆外切时，（）两圆相交时，（）两圆内切时，（）两圆内含时，解析 设圆心为（，），则半径为，（）（），圆的方程：（）解析 圆心（，），（，），所求直线的斜率 ，又其过点（，），即为所求证明 设（，）为圆上一动点，则 （）（），（）（），（）（）因为 ，所以代入，化简得（）（）（）（）解析 设圆心为（，），半径为 ，圆心到 的距离 ，圆心为（，），或圆心为（，），半径为，圆 的方程为（）（）或（）（）习题 解析 设 ，易得，则 ，（），当 时，有最大值，为 证明 如图：设 的外接圆的一般方程为 ，则圆心的横坐标为 ，即 ，（）将（，），（，）代入可得，（），（）()(
34、)，又 （），（）（）（）（）（）（）（），（）（）（），2.4 曲线与方程习题 解析 在曲线上，不在曲线上解析 解析 不是，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线 和（如图所示），其中：，：，直线 上所有点的坐标都是方程 的解，但是直线 上的点（原点除外）的坐标都不是方程 的解，因此它不是要求的轨迹方程解析 由直线 和曲线 联立，得，消去 并整理，得 ，解得 或 ，分别代入直线方程得 或 直线与曲线的交点坐标为（，）或 ，()解析 中点坐标为（，），线段 的垂直平分线的斜率为 ，线段 的垂直平分线方程是 （），即 解析 或 习题 解析 设（，）是曲线上的任意一点，则 满足条件 ，（）（）
35、（）（），即满足题意的点的轨迹方程为（）（）解析 以线段 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则（，），（，）设（，），则（，），（，），（）（）（），化简整理得 ，点 的轨迹方程为 解 析 设 （，）由 题 意 得（）（），（），即()（）（）是 圆 心 为，()，半 径 为 的圆解析 设（，），则点 到 轴的距离为 ，（），点 的集合 ，（），两边平方，得 ，即 ，方程的曲线关于 轴对称，曲线在直线 的非下方解析 设顶点 的坐标为（，），又 （，），（，），（）（）（）（），即 又点 与 不共线，（，），（，）两点应剔除，直角顶点 的轨迹方程为 （除去（，），（，
36、）两点）解析 轨迹方程为 ，表示以（，）为圆心，为半径的圆（以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系）解析 易知所求圆的方程为（）（）习题 证明 两圆，的交点坐标同时满足方程 和 ，满足（）（），变形，得（）（）（）（），该式表示圆，所以该式是通过两个已知圆交点的圆的方程解析 设（，），（，），（，），（），（）（）存在理由如下：，（）（），化简得 （），的轨迹是线段（）存在当 时，在以 为端点向右的射线上（）存在当 时，在以 为端点向左的射线上（）不存在（）不存在解析 设（，），（，），（，）（），（）（），的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆（），（）（），的轨迹不存在2.5 椭圆及
37、其方程 椭圆的标准方程练习 解析 解析 ，到 的距离为 解析（）（）解析（）（，），（，）（），()，()解析 可添加的条件为；椭圆上一点的坐标为（，）练习 解析（），椭圆方程：（），设椭圆方程为 ，椭 圆 过 点（，），或 （舍去），椭圆方程：解析 解析 易知 ，椭圆标准方程为 解析 椭圆 的标准方程为 ，其焦点坐标为（，）教材习题答案 又所求椭圆经过点（，），则有 （）（）（）（），椭圆：为所求解析 设点 的坐标为（，），坐标为（，），是线段 的中点，由中点坐标公式得，即，（，）在圆 上，将代入圆的方程得 ，点的轨迹是一个椭圆，其方程为 椭圆的几何性质练习 解析（），（，），（，），（，）
38、，（，），（，），（，），（），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（），()，()，解析（）（）解析 ，椭圆标准方程：或 解 析 由 是 等 边 三 角 形 得 ，为所求练习 解析（）（）解析（）无数个，如 ，（答案不唯一）（）一个设椭圆的方程为 （），由条件得 ，（负值舍去）故椭圆的方程为 解析 是椭圆 上一点，设（，），又（，），（）（）()()()，当 时，；当 时，解析 ，解析 设（，），由题意得 ，（），化简得 习题 解析 ，：，是椭圆解析 ，（，），（，），()，()解析 ，以原点为圆心，为半径的圆的方程为 ，联 立 ，解 得 ，的 坐 标 为（，）或（，）或（，）或
39、（，）解析 易得椭圆为 ，则（，）是直角顶点，易知两直角边的斜率分别是 和，不妨设直线 的斜率为，：，或 （舍），椭 圆 交 点 ，()，()()，斜边 的长为 解析 设椭圆方程为 （，），将，代入得，所求椭圆方程为 解析 以椭圆的长轴，短轴各自所在的直线分别为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形 的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，矩形 关于原点 及 轴，轴都对称已知椭圆长轴长 （），短轴长（），椭圆方程为 ，设（，）（，），则 ，（）由矩形的对称性，得矩形 的面积，（）（）()，当 ，取得最大值，也取得最大值，此时 ，矩形 的周长为（）（）（）在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条
40、与短轴平行且与短轴相距 的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形区域的周长为 （约 ）习题 解析 ，为所求 解 析 ，解析（，），设（，）（），（）（）（），到 的距离与 到直线 的距离之比为 习题 解析 设（，），则 ，（），（）()，为所求结论：椭圆上的动点 到左焦点的距离与它到直线：的距离之比为 书 一节例 中，也是应用这个结论解析 设 点坐标为（，），则 （），点 的轨迹方程为 （），是去掉长轴两个端点的椭圆解析 记 为椭圆的右焦点，则 （）（）（当且仅当，共线且点 位于点，之间时取等号）（）（当且仅当，共线且 位于，之间时取等号）2.6 双曲线及其方程 双曲
41、线的标准方程练习 解析（）（，），（，）（）解析（）（）解 析 椭 圆 的 焦 点 为（，），（，），解析 ，焦点（，），（，），过 作直线 垂直于 轴，交双曲线于，不妨 设在 第 一 象 限，联 立，由双曲线定义得，交点到右、左焦点的距离分别为，解析 或 练习 解析 由题意可得双曲线的顶点为（，），焦点为（，），解析 ，解析 设双曲线的标准方程为 ，其经过（，），（，），为所求解析 以线段 的中点为坐标原点，方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系 由题意可得，（），即 ，所 以 ，所以方程为 （）双曲线的几何性质练习 解析 ，焦点坐标为（，），渐近线方程为 解析 解析 若焦点在 轴上，则 ，
42、；若焦点在 轴上，则 ，综上，或 练习 解析 ，（，），渐近线方程为 解析 由焦点坐标得 且焦点在 轴上，由 ，可 得 ，则 ，解得 ，故双曲线的标准方程为 ，离心率 解析 这些双曲线的共同点是有相同的渐近线解析 ，教材习题答案 或 证明 设双曲线的焦点为（，），渐近线方程为 ，到渐近线的距离 习题 解析 ，曲线的形状为双曲线 解 析 （），()，()，渐近线方程为 （），（，），（，），（，），（，），渐近线方程为 解析 双曲线的焦点为（，），设双曲线方程为 （，），则 ，易 知 ，解析 设双曲线方程为 （），又（，），解析 ，双曲线 的焦点为（，），双曲线标准方程：习题 解析（），（答案不
43、唯一）（）解 析 设 （，）（）（）()，或，当 时，解析 设（，），（），（）()，为所求解析 易知（，），设（，），（）（）()解析 ，（）又 （），习题 解析（）设点 的坐标为（，），则 ，点 的轨迹方程为 （）（）由（）可知轨迹方程为 （），当 时，曲线表示焦点在 轴上，除去顶点的双曲线；当 时，曲线表示焦点在 轴上，除去 轴上的顶点的椭圆；当 时，曲线表示以原点为圆心，为半径的圆，除去点（，）；当 时，曲线表示焦点在 轴上，除去 轴上的顶点的椭圆解析 由题意可得 ，（）（），化简得 ，的轨迹方程是 结论：双曲线上的点到左焦点的距离与它到直线：的距离之比为 书中 一节中的例 应用了此结
44、论2.7 抛物线及其方程 抛物线的标准方程练习 解析 到抛物线的准线的距离为 解析（）（）解析（，）练习 解析 解析 （），()，准 线 方 程：（），()，准线方程：解析 设抛物线方程为 ，其过（，），为所求解析 点 到焦点的距离等于它到准线的距离，设（，）（），准线方程为 ，（，）或 （，）解析 由题意知，点 到直线 的距离与到点（，）的距离相等，所以点 的轨迹是以（，）为焦点，为准线的抛物线，所以 ，所以点 的轨迹方程为 抛物线的几何性质练习 解析 的焦点为，()，准线方程为 ，到焦点的距离 解析 焦点为（，），其到 的距离 解析 椭圆的右焦点（，），解析 因为正三角形 的顶点，在抛物线
45、上，所以，关于 轴对称，设（，），则（，）由题意得 ，所以（）（）（）（），解得 ，所以 的边长为 解析（），()，（）(，)，（），()，（），()，解析 在 中，练习 解析 或 解析 由定义，点 到准线的距离也是，设（，），则 到准线的距离 ，()解析 设点（，）为抛物线上任一点，过点 向 轴作垂线，垂足为，设垂线 段 的 中 点 为 （，），则，代入 中得 ，垂线段中点的轨迹方程为 （），它是顶点在原点，焦点为，()，开口向右的抛物线解析 由题意，设抛物线方程为 （），点（，），则 ，()，从而 ，()，（，），故 又 ，所以 ，所以抛物线方程为 解 析 设 （，），（）（）（）（），时
46、，此时（，）解 析 设 （，），()()()（），结论：对于 （），；对于 （），；对于 （），习题 解析 所得曲线为抛物线解析 解析 双曲线 的焦点为（，），的准线方程为 ，解析 中，解析 解法一：以题图中水面所在的直线为 轴，这座抛物线型拱桥的对称轴为 轴，建系，设抛物线方程为 ，其过（，），又过（，），当水位上升 时，令 ，得 或 ，此时水面宽度为 解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 （），过点（，），所以 ，所以抛物线方程为 ，若水位上升 ，即当 时，所以此时水面宽度为 解析 ，()，（，）是 上一点，证明 如图，故 ，又 轴，从而 ，同理可证，习题 解析 设 到 的
47、距离为，则 ，由三角形相似易知 ，代入 中得 （）（）解析 ，()，准线方程为 ，设（，），（，），线 段 中 点 的 横 坐 标为 ，线段 的中点到 轴的距离为 解析 记（，），以 为直径的圆过点（，），点 在第一象限，由 得 (，()，从而以 为直径的圆的圆心的坐标为，()，又圆的直径 ，的横坐标恰好等于圆的半径，圆 与 轴 切 于 点 （，），()，或 ，或 解 析 设 上 任 意 一 点，()，由 ()（），时，最小此时，（，）解析 因为 在抛物线 上，所以可设 点坐标为（，）（），由点到直线的距离公式，得 到直线 的距离 （），因此，当 时，取得最小值，故点 的坐标为（，）习题 解析
48、 易知点 在抛物线内部，过 作 垂直抛物线的准线于点，如图所示，由抛物线的定义知 ，所以 ，当，三点共线时 有最小值，为，此时 ，即点 的坐标为，()（）设点 的坐标为（，）（），则 （）（）令 （），则 （）（）（）当 时，教材习题答案 该函数在，）上为增函数，当 时，此时点 的坐标为（，）；当 时，该函数在，上为减函数，在，）上为增函数，所 以 时，此 时 点 的 坐 标 为（，）解析 （，），设（，）（），（）（），即 时，随 的增大而减小，时，此时，（）；，即 时，（）（），当 时，此时（）2.8 直线与圆锥曲线的位置关系习题 解析 ，或 ，记公共点坐标为（，），（，），（）（）解 析
49、 ，或，不妨令（，），（，），解析 例如 与直线 只有一个公共点，但它们相交解析 由题意，联立，消去，得（），（）（）当，即 或 时，直线与椭圆有两个公共点（）当 ，即 或 时，直线与椭圆只有一个公共点（）当，即 时，直线与椭圆没有公共点解析，（），直线与双曲线没有公共点，或 解析 的渐近线方程为 ，过原点且与双曲线交于两点，解析 抛物线 的准线方程为 ，设圆心（，），由题知，由得 ，所求方程为 ()（）解 析 （，），联 立，证明 设：，：，消去，得 ，习题 解析 焦点（，），准线方程为 联立：（），：，得 ，解析 联立，得，（）（），线段 的中点坐标为（，）（）由 可知不垂直于 证 明 设
50、：，：，化 简 得 ，即 ，时，与双曲线 无公共点；时，与双曲线 有一个公共点解析 易知 或 成立，当斜率 存在时，设直线方程为，联立，得 （），只有一个公共点，即 （），综上，或 或 为所求解析 设（，），（，），直线 的方程为 ，代入 ，得 （），所以 ，所以 （）（），解得 ，即直线 的方程为 解析（，），（，），联立：（），：，得 ，准线方程为 ，线段 的中点到准线距离为 解析 设：（），（，），（，），所以 ，所以 ，所以 ，即直线 的方程为 证明 不妨设抛物线的方程为 ，则抛物线的焦点为 ，()设过点 的直线 的方程为 ，代入抛物线方程得 设（，），（，），则 设点 的坐标为 ，(
51、)，直线 的方程为 ，当 时，所以 ，()，所以直线 的方程为 ，所以 平行于此抛物线的对称轴，即 轴证明 设抛物线方程为 （），()，准线方程为 设（，），（，），以 为 直 径 的 圆 的 半 径 ，圆心为 中点，又 ，又 中点到准线的距离 ，以 为直径的圆与该抛物线的准线相切解析 （，），联立：，：，得，得 ，的中点到准线的距离为 ，且圆心坐标为（，），所求方程为（）（）复习题 组解析（）（）（），：（），：（），：（），：解析 ，解析 设：（），或 ，：或 解析 假命题反例：当，时，：，解析（，），（，），（，），（，）解析 设所求圆的方程为（）（），由题意可得 且（）（），或 ，所求
52、圆的方程为（）（）或（）（）解 析 ，在 曲 线 上，不 在 曲线上解析 不是中线 的方程是 （），中线是线段解析 设（，），则 （）（）（）（），（）（），：，由 可 得，或 ，点 的轨迹方程为（）（）（除去点（，），（，），（，），（，），故选 设动圆的圆心为，半径为，而 的圆心为（，），半径为，的圆心为（，），半径为，则 （）（），的轨迹是双曲线的一支解析 ，点 的轨迹为椭圆，且 ，又 ，位于椭圆右半部分，且 不能与，在同一直线（轴）上，点 的轨迹方程是 （）解析 方程可化为（）（）（）（），若 ，则方程为；若 ，则方程为 ；若 且，则方程可化为 ，此方程表示双曲线条件是（）（），或 解
53、析 双曲线的离心率 ，椭圆焦点（，），双曲线的方程为 解析 双曲线 ，焦点为（，），又椭圆经过点（，），（）（），椭圆的方程为 解析 ，由椭圆的定义得 ()，所求椭圆的标准方程为 解析 由，得（），直线与椭圆交于 不 同两点 （），或 解析 若直线 的斜率不存在，则显然不符合题意，故直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 当 时，符合题意，直线 的方程为 当 时，由 ，（），消去，得 ，由 ，得 ，所以方程为 综上，直线 的方程为 或 组解析 由 ，得 ，代入 得 解析 易得 ，与 的交点为（，），与 的交点为（，），与 的交点为（，），与 的交点为（，），四边形 是梯形，高是，上底，下底 ，（）
54、解析（）由题意得 ，（）由题意得（），解析 由 ，得 ，不论 为何值，直线（）（）恒过定点（，）解析 真命题解析 （，）关于 轴的对称点为（，），根据反射定律可得，两点都在反射光线所在直线上，反射光线所在直线方程为 解析 ，：（）与 轴交点 ，()，设（，），（），教材习题答案 ，或 ，（，）或，()解析：可化为（）（），所以圆心的坐标为（，），半径为 ，是圆的两条切线，四点共圆，圆心 ，()，()（）（），：（）()，由 得：解析 曲线上的点到点（，）的距离减去它到 轴的距离的差都是，则曲线上面的每个点到点（，）的距离都等于它到直线 的距离，曲线轨迹是以 点为焦点，直线 为准线的抛物线，曲线
55、的方程为 解析（）若方程 为椭圆，则，此时焦点坐标为（，）和（，）（）若方程 为双曲线，则有（）（），此时焦点坐标为（，）和（，）证明 设（，），（，），则点，到 轴的距离之积为 ，由题意可设直线方程为 ，联立 ，消去，得 ，故这两个交点到 轴的距离的乘积积为，是一个常数证明 不妨设抛物线的方程为 （），弦 与抛物线的对称轴交于（，），（，），（，），因为，三 点 共 线，所 以 得 到 （）将 ，代入（）式，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 故 点坐标为（，），即弦 与抛物线的对称轴相交于定点（，）解析 易知直线 的斜率存在且不为零设（，），（，），可得 ，即直线 的斜率为 ，直线 的方程
56、为 （），即 解析 设直线：（），不妨设 点坐标为，点坐标为，则：，：，由得 ，将代入化简整理，得 ，即 ，所以点 的轨迹为双曲线 解析 由 ，消去，得 ，由弦长公式得 ，所 以 ，当 时，解析 设，两点的坐标为（，），（，），（）（），即（）（）由，消去，得 （），即（），（），（），即 ，或 解析 设抛物线 的方程为 （），由 ，消去，得 （），（）()，解得 或 ，抛物线 的方程为 或 解析 易得直线 的方程为 ，由 ，消去，得 设，的坐标分别为（，），（，），则 ，即 ，令 且，则 ，即 解析 由双曲线的方程可知双曲线的实轴长为，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 （），联立（），
57、消去，得（）设（，），（，），则 ，（）（），当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时 ，符合题意综上所述，直线 的方程为 （）或 解析 设点 为（，），则有距离乘积 的 值 ，又点 在双曲线上，由 ，即 ，所以 ，为 定 值 所 以 第 一 问 的 值为 解析 由双曲线定义得 ，得 （），即 ，解析 易得直线 的斜率存在设直线 的 方 程 为 （），由 ，（）消去，得 （），由弦长公式 ，得 ，所以直线 的 方程为 或 解析 与 不能垂直，理由如下：设（，），（，），（，），则 ，由 ，可 得（）（）（）（），因为，所以 ，即 假设，则 ，得 ，所以 ，这与已知矛盾，所以 与 不能垂直
58、 解 析 设，(，)，（，）由 ，得（）（）由，可知 ，（），所以 ，化简得点 的轨迹方程为 解析（）由已知易得 ，由 可得 或 故椭圆的方程为 ，离心率为 ；或椭圆 的 方 程 为 ，离 心 率为（）略（设出 的方程，与椭圆方程联立组成方程组，利用韦达定理求解即可）组解析 设：与线段相交于，过定点 （，），则 ，解析 设 与直线 的交点为（，），与直线 的交点为（，）（，）是线段 中点，点 在直线 的上，（），即 由，解得 ，()又直线 过，两点，：，即 证明（）设（，），关于：对称，即 ，（，）（）设 （，），中 点 坐 标为 ，关 于：对 称，（，）解析 设（，），则，中点坐标为，()在 上，()，（，）解析 设圆心（，），半径为，由题意，得，消去，得 （）又由已知，得 ，可知 或 分别代入（）式，解得 ，或 ，即圆心坐标为（，）或（，）由，得 所以所求圆的方程为（）（）或（）（）解析 不妨设 为右焦点，记 为椭圆的左焦点，如图由椭圆定义知 ，由对称性知 ，而 ，周长的最小值为